Arithmétique dans Z[X]

[egan]

Salut,
J'ai essayé de faire le tour des points importants sur le sujet. J'ai trouvé ceci:
-contenus
-irréductibilité dans Z[X] et dans Q[X]
-Eisenstein
-utilisation de Z/pZ[X]
-polynômes cyclotomiques
-résultant.

Est-ce qu'il y a d'autres choses importantes ?
Merci d'avance.
@+ Boris.

[Ben314]

Perso, je vois pas...
Peut être évoquer aussi le fait que Z[X] est un Z-module libre...

Mais d'un autre coté, je pense pas que j'aurais mis "résultants" vu que c'est beaucoup plus général (enfin, le reste aussi se généralise...) et que je connais pas bien d'applications directement dans Z[X] mais, au min. dans Z[X,Y].

Tu pensait à quelque chose en particulier ?

[egan]

Qu'est-ce que c'est qu'un module libre ?
Pour les résultants, j'ai vu une propriété rigolote dans modern computer algebra: si le résultat de deux polynômes est égal à "je sais plus si c'est 1 ou 0 ou si c'est est différent de", les deux polynômes sont premiers entre eux. C'est peut être même une équivalence.

[Joker62]

Les modules sont une généralisation des espaces vectoriels sauf que l'ensemble des scalaires n'est plus un corps mais un anneau ! ça permet énormément de choses sympathiques.

Mais bon apparemment c'est pas la peine d'en parler.

[Ben314]

Quasi par définition, le résultant de deux polynômes vaut 0 ssi ils ont une racine commune dans une cloture algébrique, donc dans le cas de K[X] (K corps) cela signifie qu'ils ne sont pas premiers entre eux.

Il me semble que ça montre (trivialement) que :
(premiers entre eux dans Z[X]) (Résultant non nul ET pgcd des contenus =1)
Ensuite, clairement, si (Résultant=1) alors (pgcd des contenus=1) au vu du déterminant définissant le résultant.
Mais la réciproque me parrait fausse...

Tient, "scolairement parlant", je trouve ça bizare que tu connaisse la notion de résultant et pas celle de A-module... (pour moi, il est assez incontournable pour les résultants de parler de déterminants à coeff dans un anneau c'est à dire, au fond de morphimes de A-modules)

[Joker62]

On parle de polynôme caractéristique sans k[X]-module aussi...

[Ben314]

O.K. mais il me semble que là, "ça saute moins aux yeux".

Le truc important (indispensable ?) pour le résultant c'est de voir qu'il reste dans l'anneau contenant les coeffs des 2 polynômes, ça te conduit à écrire un déterminant dont les coeffs sont dans un anneau et, il me semble qu'il peut venir à l'esprit de se poser la question de savoir à quel type de morphismes correspond une matrice dont les coeffs sont dans un anneau...

Alors que de chercher les K[X]-modules "cachés" derrière un polynôme caractéristique, il me semble bien que le seul endroit ou ça "ressort" assez clairement, c'est si tu fait la preuve "simple" de Caylay-Hamilton où il faut identifier les polynômes à coeff. matriciels et les matrices à coeff polynomes.

Bon, de toute façon, c'est un problème d'ordre dans lequel on enseigne les trucs...
J'ai bien enseigné les matrices sans les espaces vecto et, au fond, ça c'est plutôt bien passé...