Arithmétique dans Z et polynôme

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur l'arithmétique dans Z et les polynômes, mais j'avoue que j'ai beaucoup de mal à aboutir :

Soit un polynôme à coefficients entiers.

Je dois montrer que si pour tout entier m, le nombre P(m) est premier, alors P est constant

(On a montré avant que pour tout entiers relatifs m et k, divise

- Ce que j'ai fait :

On dispose de , et de tel que :

pour tout réel ,

qui est premier

Soit , je note qui est premier

Si alors , on peut alors trouver tels que , donc

Or soit

Or est premier, donc donc or et p sont des nombres premiers et : j'aboutis à une contradiction

Donc et ce pour tout


-Déjà que j'ai la conviction que mon raisonnement est faux, même en admettant le résultat demandé, j'ai du mal à généraliser ce résultat à tout réel

Je pensais au début de noter , et de montrer par l'absurde que cette ensemble est vide. Et pour cela, en supposant non vide, je voulais introduire (partie non vide et majorée de si je me trompe pas), et utiliser le fait que :

,

Puis en utilisant la définition de limite aboutir à une contradiction


-Mais mon raisonnement me paraît plutôt douteux, mes raisonnements par l'absurde et en particulier l'introduction de l'ensemble A.

Si quelqu'un peut me donner une petite indication (pas la solution au problème) pour bien démarrer et partir sur une voie un peu plus rigoureuse, ou simplement me préciser pourquoi mon raisonnement est faux

Je vous remercie d'avance pour vos réponses (et vous félicite d'avoir lu mon message^^, lecture à mon avis pas très agréable)

[jlb]

"Je dois montrer que si pour tout entier m, le nombre P(m) est premier, alors P est constant

(On a montré avant que pour tout entiers relatifs m et k, divise "

du coup, c'est fini, non? si P est nul c'est bon, sinon tu choisis un m tq P(m) soit diff de 0, alors
P(m) est premier et divise P(m+kP(m)) qui est premier et ceci pour tout k.

P-P(m) admet donc une infinité de racines... Cela doit aller, non?

[jonses]

si P est nul c'est bon, sinon tu choisis un m tq P(m) soit diff de 0, alors
P(m) est premier et divise P(m+kP(m)) qui est premier et ceci pour tout k.

Désolé, mais je n'ai pas tout saisi : est-ce que je peux choisir un entier m tel que ou un réel m tel que ?

Il me semble que pour tout entier m, puisqu'on a supposé que est un nombre premier

P-P(m) admet donc une infinité de racines... Cela doit aller, non?

Oui ^^ mais pour moi c'est un peu triché puisque j'ai toujours pas vu en cours que si un polynôme admet une infinité de racine, c'est le polynôme nul

J'ai essayé de montrer avec mon ensemble , que si on suppose qu'un des facteurs de (pour k supérieur ou égal à 1) est non nul, alors le polynôme tendrait vers + ou - en (puis la définition de la limite me donnait une contradiction dans ce cas)

Merci en tout cas

[Matt_01]

Ben moi j'ai l'impression que si P(0)=p alors tous les P(kp) sont divisibles par p (donc égaux).

[Doraki]

Prend a et b au hasard et suppose que P(a) = p <> q = P(b).
Alors puisque p et q sont premiers entre eux, par le théorème des restes chinois il existe c tel que c = a mod p et c = b mod q, et on a donc que p et q divisent P(c), contradiction.

Donc pour tout a et b, P(a) = P(b), donc P est constant (sur Z).


Bon en fait t'es quand même forcé (pour en déduire que P est constant sur R) d'utiliser un truc qui dit qu'un polynôme avec une infinité de racines est le polynôme nul.

[nodjim]

Si le polynome a une constante, alors si x=constante, le polynome donnera une factorisation de x. Si pas de constante, x est facteur commun.

[jonses]

Bon en fait t'es quand même forcé (pour en déduire que P est constant sur R) d'utiliser un truc qui dit qu'un polynôme avec une infinité de racines est le polynôme nul.

C'est vrai, ça aurait été bien plus pratique d'utiliser cette propriété, si je l'avais vu en cours, mais je sais que ça passera pas de sortir un résultat qu'on a pas vu précédemment (c'est un peu comme sortir un lapin d'un chapeau magique sans pouvoir l'expliquer parce qu'on a pas encore vu les outils nécessaires pour)

Mais je voulais savoir : si je montre que l'ensemble est vide, alors le polynôme est bien constant (les étant les coefficients des ) ?

Je vois pas d'autres moyen pour le montrer sinon (excepté la propriété qui dit qu'un polynôme qui a une infinité de racine est le polynôme nul)

[Doraki]

Ben pour ça tu fais comme t'as dit dans ton premier post.