Arctan et intégrale

[ArtyB]

Bonjour,

Je cherche à calculer l'intégrale suivante:

Je peux réécrire ça:


Or
Donc appliqué ici avec u=x/2



Est-ce correct ?

[WillyCagnes]

bjr

presque bon à une facteur 2 près...

1/2[arctang(x/2)]

essaie de dériver ton résultat pour verifier

[Ben314]

Non : vu que la dérivée que tu donne pour arctan(u) est celle dans le cas où u est la variable.
Mais si u=x/2, il y a un truc en plus...

[ArtyB]

Merci de ta réponse !
Suivant la formule suivante:


J'ai:

[Ben314]

ça c'est juste, mais... ton résultat est faux quand même du fait que la dérivée de la fonction x->arctan(x/2) n'est pas la fonction x->arctan'(x/2)

[ArtyB]

Mais pourquoi cela ?
Je ne comprends pas, si je pose u=x/2, en appliquant la formule j'obtiens ce que j'ai écris plus haut, pourquoi en est il autrement ?

[Ben314]

Juste pour voir :
Vu que la dérivée de u->u² est u->2u, si "on pose" (comme tu dit) u=x/2, est ce que la dérivée de x->(x/2)² est x->2(x/2) ?

[ArtyB]

Erf oui en effet je vois... c'était stupide de ma part
Pourtant j'étais persuadé que ça allait marcher...
Merci beaucoup !

Comment faire la dérivée de arctan(x/2) dans ce cas là ? Sachant que tout ce que l'on sait c'est que arctan'(x) = 1/(1+x²) ?

[Ben314]

Tu n'as pas vu comment on dérive la composée de deux fonctions ?
Par exemple, tu ne sait pas dériver la fonction x->exp(2x) ?

P.S. et tu devrais nettement perdre cette très mauvaise habitude consistant à parler de "la dérivée de arctan(x/2)" : ce qu'on dérive, ce n'est pas une "formule", mais une fonction donc par exemple ici, c'est x->arctan(x/2).
Ca te permettrais en particulier de bien comprendre pourquoi x->arctan(x/2) ça ne se dérive pas de la même manière que u->arctan(u).

[ArtyB]

Oh mon dieu faire des maths du soir au matin et du matin au soir me fait parfois vraiment perdre toute raison et tout sens commun...
Je crois que je vais aller prendre l'air là parce que quand je vois que j'en suis arrivé à poser des questions pareilles c'est qu'il est l'heure de faire une pause...
Merci beaucoup à toi, je devais vraiment avoir la tête ailleurs...

Très bonne idée concernant ton PS et la façon de formuler les choses, ça sera bien plus clair.

Un grand merci !

[WillyCagnes]

Mais pourquoi cela ?
Je ne comprends pas, si je pose u=x/2, en appliquant la formule j'obtiens ce que j'ai écris plus haut, pourquoi en est il autrement ?

donc du=dx/2

[chombier]

Personnellement, pour l'intégration des fractions rationnelles, j'ai retenu cette petite formule très pratique :



Il faut être capable de la retrouver, évidemment, mais quand on sait qu'on va avoir un examen avec ce genre de calculs, ça peut faire gagner du temps.

[Axiom]

Bonsoir,

Il me semble Chombier que l'on peut même élargir à : , non ? :happy:
Après, je n'ai pas refait la démonstration et je dis peut-être une grosse bêtise... :ptdr:

C'est vrai que c'est un formule vraiment très pratique et très importante que l'on retrouver dans beaucoup de primitives de fractions rationnelles, elle est vraiment à savoir..

[chombier]

Bonsoir,

Il me semble Chombier que l'on peut même élargir à : , non ? :happy:
Après, je n'ai pas refait la démonstration et je dis peut-être une grosse bêtise... :ptdr:

C'est vrai que c'est un formule vraiment très pratique et très importante que l'on retrouver dans beaucoup de primitives de fractions rationnelles, elle est vraiment à savoir..

Tout à fait mais dans ce cas je l'écrirait comme cela :



Ce qui revient à faire le changement de variable : du = u'(x) dx

Personnellement écrire u' et du dans la même formule, ça me gêne un peu. Alternative :

Une primitive de est , où u est une fonction de R dans R.

[ArtyB]

Merci beaucoup je l'ai notée et apprise !

[chombier]

Merci beaucoup je l'ai notée et apprise !

Est-ce que tu l'as redémontrée ? :we:

[ArtyB]

Oui bien sûr !
Je déteste apprendre des choses que je ne comprends pas et en maths pour comprendre il faut démontrer :D

[WillyCagnes]

bravo! tu as progressé.