Approximation de la formule de Stirling

[romtiff]

Salut a tous !

Voila, je cherche à savoir comment réduire l'erreur absolue de la formule de Stirling concernant

les factorielles. J'ai entendu parler de la fonction Gamma de Euler avec son développement

asymptotique. Mais j'y comprend rien.

le problème c'est que je cherche une erreur absolue à 100 voir 1000 chiffre d'écart.

Plus n augmente plus cette écart augmente.

Voila si y'en a qui peuvent éclairer ma lanterne vous êtes les bienvenu.

exemple: 20!=2.4329*10^18 ; selon Stirling: 20!S=2.4228*10^18
Ecart :1.01*10^16

Ba je voudrais un écart qui ne dépasse pas 10^3 pour nimporte quelle n.

Une formule?

[WillyCagnes]

bjr

tu peux te faire un ptit programme pour calculer N! en passant par les log et prendre l'exponentielle de la somme:
entrez N
s=0
for i=1 to N
s=s+Ln(i)
next

et tu affiches exponentielle(S)


voir ces liens aussi
http://linuxfr.org/forums/programmation-c--2/posts/calcule-de-factoriel-d-un-grand-entier

https://zestedesavoir.com/forums/sujet/2822/la-fonction-factorielle/

http://www.alcula.com/fr/calculatrices/calculatrice-scientifique/

[DamX]

Bonjour,

j'approuve la proposition de willycagnes, car je doute que tu puisses avoir ce que tu souhaites avec un développement asymptomatique qui finira tôt ou tard par s'éloigner à l'infini de factorielle (en différence).

Si tu veux tout de même tester ce que ça donne, dès qu'il y a une question d'approximation numérique d'une fonction classique, je recommande l'Abramowitz and Stegun, une bible en la matière et dispo en libre sur le net. En l'occurence, ils te donnent une extension polynomiale de Stirling à l'ordre 4 au paragraphe 6.1.37 : http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_257.htm

Damien

[romtiff]

Merci pour vos réponses, mais le problèmes c'est que si je veux calculer la factorielle de 10millions
ca risque de prendre beaucoup de temps même avec la somme de tout les log.


grâce au liens de willyCagnes, le seul moyen pour de grosse factorielle reste la fonction de stirling:

If you work with large factorials, use the Stirling approximation. This formula is perhaps all you need in real life. But here we are concerned with the exact computation of n!.lien

[Ben314]

exemple: 20!=2.4329*10^18 ; selon Stirling: 20!S=2.4228*10^18
Ecart :1.01*10^16
Bah je voudrais un écart qui ne dépasse pas 10^3 pour n'importe quelle n.

C'est complètement clair que tu risque pas de trouver une même formule simple qui approxime n! (pour n'importe quel n) avec une précision bornée !!!

Par contre, la formule de Stirling peut se compléter avantageusement par un développement asymptotique (qui est en fait celui de la fonction gamma)
Regarde en bas de la page de Wiki. sur la formule de Stirling (à "généralisation" : il y a même une table pour voir l'amélioration entre la formule basique et le développement asymptotique à l'ordre 1),

S'il te faut plus de coeff. que ceux donnés dans la page en question, les nombres de Bernoulli sont faciles à calculer.