Applications et ensembles.

[Trident]

Bonjour j'aimerais savoir si les questions 3 et 4 de mon exercice sont correctes.

Pour tout , on considère la partie de

Question 1 : Représenter graphiquement et : fait.

Question 2 : Démontrer l'égalité :

: fait.

Question 3 :

Soit l'application :




Pour tout n dans N, déterminer l'image directe m(Rn).

Ma réponse :

Soit (x,y) un couple de .

On a alors l'existence d'un entier n dans N* tel que x soit dans [-n,n] et y dans [-1/n ; 1/n].

Donc -n \mathbb{R}^2 [/TEX]


Déterminer l'image réciproque



On cherche donc tous les t tels que f(t) soit dans R_2 c'est à dire tous les t tels que t soit dans l'intervalle [-2;2] et (1/4)t + (1/4) soit dans [-1/2 ; 1/2] (une sorte de système à résoudre).

(inégalités larges) :

-2 < t < 2

-1/2 < (1/4)t + 1/4 < 1/2

on additionne :

-5/2 < (5/4)t + 1/4 < 5/2


-11/4 < (5/4)t < 9/4

-11/5 < t < 9/5

donc l'image réciproque serait [-11/4 ; 9/4] ?

Merci.

[Doraki]

Pour tout n dans N, déterminer l'image directe m(Rn).

Ma réponse :

Soit (x,y) un couple de .

On a alors l'existence d'un entier n dans N* tel que

Euh ? comment tu fais pour parler de Rn alors que n n'existe pas encore ? et puis prouver un "pour tout n" en commençant par un "il existe n tel que" c'est pas chouette.

-2 < t < 2
-1/2 < (1/4)t + 1/4 < 1/2

on additionne :

si tu te relisais, tu verrais qu'additioner est totalement inutile.
Non seulement ça ne sert à rien, mais en plus ce n'est pas une équivalence.
Là t'es en train de dire
"je cherche les t tels que -1 <= t <= 1 et 0 <= t <= 2.
Tralala, additionnons, magie magie, j'obtiens -1 <= 2t <= 3, donc les solutions sont [-1/2;3/2]"

[Trident]

Si ton unique but est de me rabaisser, ce n'est pas la peine de répondre car j'ai respecté toutes les conditions dans mon post et en me parlant comme ça ;

-d'une, tu ne m'aides pas

-de deux, les autres ne répondront pas car ils voient qu'une réponse a déjà été donnée.

Sinon...

Euh ? comment tu fais pour parler de Rn alors que n n'existe pas encore ? et puis prouver un "pour tout n" en commençant par un "il existe n tel que" c'est pas chouette.

Rn par définition c'est le sous ensemble de R² définie par [-n;n] x [-1/n ; 1/n]

Pour tt n , déterminer m(Rn), pour moi ça veut dire pour n'importe qu'elle ensemble Rn, déterminer son image.

si tu te relisais, tu verrais qu'additioner est totalement inutile.
Non seulement ça ne sert à rien, mais en plus ce n'est pas une équivalence.
Là t'es en train de dire
"je cherche les t tels que -1 <= t <= 1 et 0 <= t <= 2.
Tralala, additionnons, magie magie, j'obtiens -1 <= 2t <= 3, donc les solutions sont [-1/2;3/2]"

Encore une fois, tu ne donnes aucune piste. :dodo:

Mais je crois avoir trouvé, on cherche les t qui vérifient :

t est dans [-2;2] et (1/4)t + (1/4) est dans [-1/2 ; 1/2] c'est à dire les t qui sont à la fois dans [-2;2] et dans [-3;1]

car si (1/4)t + (1/4) € [-1/2 ; 1/2] alors t € [-3;1]

Ce sont ceux qui sont donc dans [-2;1], c'est l'image réciproque donc ?

[Doraki]

ben le plus important c'est d'arriver à voir les erreurs de raisonnement. une fois que tu sais les éviter, tu peux plus écrire de truc faux.

Rn par définition c'est le sous ensemble de R² définie par [-n;n] x [-1/n ; 1/n]

Pour tt n , déterminer m(Rn), pour moi ça veut dire pour n'importe qu'elle ensemble Rn, déterminer son image.

oui la question c'est déterminer m(R1), m(R2), m(R3), m(R4) , ... etc
Là pour l'instant tu as montré que si (x,y) est dans un Rn, alors m(x,y) est dans [0;1].
Donc que pour tout n, m(Rn) est inclus dans [0;1].

Si tu veux montrer que pour tout n, m(Rn) = [0;1], tu dois dire
Soit n dans N* et soit z dans [0;1]. Montrons qu'il existe un (x,y) dans Rn tel que m(x,y) = z.
...

t est dans [-2;2] et (1/4)t + (1/4) est dans [-1/2 ; 1/2] c'est à dire les t qui sont à la fois dans [-2;2] et dans [-3;1]
Ce sont ceux qui sont donc dans [-2;1], c'est l'image réciproque donc ?

oui là c'est mieux. Cette fois le raisonnement est bon donc j'imagine que ça doit être ça.

[Trident]

Si tu veux montrer que pour tout n, m(Rn) = [0;1], tu dois dire
Soit n dans N* et soit z dans [0;1]. Montrons qu'il existe un (x,y) dans Rn tel que m(x,y) = z.

Ok, donc on doit montrer l'autre inclusion.

Je comprends pas trop bien cette définition du Rn... Quand on dit qu'il existe un (x,y) dans Rn tel que m(x,y) = z, le x il vérifie "pour tout n dans N* , x est dans [-n;n]" et le y "pour tout n dans N*, y est dans [-1/n ; 1/n]" ?
ou alors "il existe un n dans N* tel que x est dans [-n;n]" ?

Je sais qu'il faut utiliser la question 2 et l'intersection mais j'ai du mal à mettre le tout en place.

Le but c'est de montrer qu'il existe un (x,y) [j'ai un doute sur quel x et quel y , ce que je t'ai dit en haut) tel que |xy| = z où z est dans l'intervalle [0;1], ça je l'ai bien compris.

[Doraki]

Ben non le n il est quelconque et tu le fixes dès le début.
Le choix de x et de y que tu fais va dépendre de n et de z.

Si tu préfères, tu peux montrer qu'il existe 2 fonctions de [0;1]xN* dans R, x(z,n) et y(z,n)
telles que :
- pour tout n et z, (x(z,n),y(z,n)) est dans Rn, c'est à dire x(z,n) est dans [-n;n] et y(z,n) est dans [-1/n;1/n]
- pour tout n et z, m(x(z,n),y(z,n)) = z, c'est à dire |x(z,n)*y(z,n)| = z