Application partielle

[Guigui1Pierre]

Soit F un ev normé de dimension finie.
1≤k≤p
Soit U un ouvert non vide de IR^p muni de sa base canonique.
Soit a=(a_1,...,a_p) un point de U.
On note theta_{a,k} l'application de IR dans IR^p définie par
theta_{a,k} : t -> (a_1,...,a_{k-1},t,a_{k+1},...,a_p)
Alors l'application theta_{a,k} est linéaire?

Ca me paraît clairement faux mais c'est pourtant écrit dans un lemme dans mon bouquin HPrépa 2eme année MP-MP* édition Hachette Supérieur des années 2000.
(les IA me disent que theta_{a,k} est affine mais pas linéaire)
Quelqu'un aurait une explication?