Application lineaire continue

[Percolaptor]

Bonjour,
je bloque sur une implication de la demo de :
Si f est continue sur 0 alors f est bornée sur la boule unité
f:E->F ou E et F sont des espaces vectoriels

On suppose que f est continue en 0, cad pour tout epsilon>0, il existe alpha>0,||x|| =< alpha --> ||f(x)|| =Pour epsilon=1, il existe alpha>0 / ||x||= ||f(x)||=<1
Si X€E et ||X||=<1 alors pour x / x=alpha.X, on a ||alpha.X||= ||f(alpha.X)||=<1
d'ou ||X||=<1 --> ||f(X)||=<1/alpha
Donc f est bornée sur la boule unité

En fait je ne comprends pas pourquoi x=alpha.X et puis comment peut on savoir qu'il faut prendre un X ?

[fahr451]

bonjour

on se ramène par homothétie à la boule de rayon alpha
c'est naturel dans les evn comme technique

[Percolaptor]

Re,
oui je viens de remarquer que c'est une idée à connaitre, qui est utile. C'est une technique, mais ya t-il d'autres techniques dans les evn ?

[fahr451]

plutôt des tactactacttics ( celle du gendarme)

tu verras à l'usage

je n'ai pas de liste en tête (l'inégalité triangulaire étant souvent bien présente)

[Percolaptor]

ok, merci Fahr :happy2: