Algèbre linéaire : application linéaire

[nico2b]

Bonjour,

des exercices nous ont été donnés mais je suis calé sur un...
Voici l'énoncé :
Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie n et (v1,...,vn) une base de V.
Soit f : V -> V une application K-linéaire. Dans chacun des cas (1) et (2) ci-dessous
- Calculer fof pour (1) et fofof pour (2) en fonction de f
- Donner une base Bk de Ker f (noyau) et une base Bi de Im f.
- Bk union Bi est-elle une base de V?

sachant que
(1) n = 2 ; f(v1) = 0, f(v2) = v2
(2) n = 3 ; f(v1) = v3 , f(v2) = 0 et f(v3) = -v1

Voilà pour l'énoncé...

Quand il demande de calculer fof celà revient-il à calculer f(f(v1,v2)) ?
Car dans le cas un une base est (v1,v2)...
On l'enverrai une foi sur f donc f(v1,v2) = (0,v2)
Ensuite on envoi le résultat obtenu une seconde foi sur f...

Est une bonne démarche ou vais-je droit dans le mur? :mur:

D'avance merci
Nico.

[fahr451]

bonjour

oui on prend les imges successives d' un vecteur x par f


évite de dire qu 'on envoie un vecteur sur f

on envoie plutôt un vecteur sur un vecteur par f

[nico2b]

Merci

Donc si j'ai bien comprend pour le cas un sa donne :
fof = f(f(v1,v2)) = f(0,v2) = (0,v2) ?

Parce que moi ici je me dit que f(v1,v2) = (f(v1),f(v2))
Alors j'obtien (0,v2) et cet image je l'applique une seconde foi à la fonction
Mais c'est parce que f(0) nous est pas donné dans l'énoncé

D'avance merci
Nico

[fahr451]

l'algèbre et l'algèbre linéaire en particulier c 'est un langage donc un formalisme

f : V ->V est une application
v1 est un vecteur ( v1,v2) une famille de deux vecteurs

tu ne peux pas écrire

f = ( v1,v2)

tu dois écrire

f°f (v1) = f (f (v1) ) =

f°f (v2) =


puisque (v1,v2) est une base d e V

donner les images de v1 et v2 par f par f°f etc suffit à déterminer f ,f°f

[nico2b]

Ok je vois mieux mnt..J'avais pas trop compris le fait que (v1,v2) était une famille de vecteur...

Donc cela donne :
fof(v1) = f(f(v1))=f(0)
fof(v2) = f(f(v2)) = f(v2) = v2

ET même principe pour fofof pour le (2)

Suis-je bon ce coup ci?
En tout cas merci pour l'aide :++:

[nico2b]

Pour le 1er tiret c'est ok merci :we:

Maintenant pour ce qui est de donner une base Bk de Ker f et une base Bi de Im f...

Comme Ker f c'est l'ensemble des x appartenant à V tel que f(x) = 0 , j'aurais prit comme base de Ker f : v1 car on sait que f(v1) = 0

MAis je ne suis pas du tout sur de mon résonnement...

D'avance merci
Nico

[nico2b]

Pour le 1er tiret c'est ok merci :we:

Maintenant pour ce qui est de donner une base Bk de Ker f et une base Bi de Im f...

Comme Ker f c'est l'ensemble des x appartenant à V tel que f(x) = 0 , j'aurais prit comme base de Ker f : v1 car on sait que f(v1) = 0

MAis je ne suis pas du tout sur de mon résonnement...

Personne pour confirmer ou m'expliquer en cas d'erreur?

Merci d'avance
Nico