Application continue

[Simpi]

Rebonjour,
soit et deux espaces topologiques.
et une application continue.
1) Montrer que

2) En deduire que si alors

Mes element de reponses:
1) soit tel que
on a
soit un voisinage de on a
or est une application continue et est un voisinage ouvert donc est donc un voisinage ouvert de .
maintenant



donc
conclusion

2) pour cette question je dois montrer l'inclusion dans l'autre sens.
j'ai de besoin de piste

[Ben314]

1) soit tel que
on a <= Surement pas : rien ne dit que f est bijective
soit un voisinage de on a
or est une application continue et est un voisinage ouvert <= pourquoi donc ? donc est donc un voisinage ouvert de .
maintenant
<= mal écrit : lorsque l'on utilise un quantificateur, on met une variable libre derrière (i.e. juste un symbole et pas une formule)

<= Pas clair du tout.
Vrai ou Faux :
1) ?
2) ?
donc
conclusion

Bref, sur le principe, c'est "plus ou moins ça", mais la rédaction est "archi nulle" (le pire et de loin étant d'écrire que )

[Robot]

Pour le 2) vérifie ton énoncé. En l'état, il est faux ! (prendre A=X).

[Simpi]

Ok, je retire
on a soit un voisinage de



etant continue alors est un voisinage de
maintenant faire sortir l'expression j'avou que je n'arrive pas.
Vrai ou Faux:
1) Vrai si f est injective
2) Faux.

pour la question 2) j'ai verifié l'enoncé et c'est ce qui est ecrit

[Ben314]

Si cela signifie qu'il existe un .
Or, le fait que signifie que (par définition de )
Et, le fait que signifie que (par définition de )
Donc et cela prouve que .

Et concernant la question 2), qui sont , et lorsque et ?

[Robot]

Eh bien l'énoncé est grossièrement faux : il impliquerait que l'image d'une fonction continue est toujours fermée dans l'espace d'arrivée !

Contre-exemple avec , . Alors et
(Edit : Ben a modifié son message juste avant que je poste )

[Simpi]

merci pour la premiere question,
vous avez raison f(X) = ]-pi/2, pi/2[ alors que