Application continue

[Sheeppowa]

Bonjour a tous,

Voilà l'énoncé de mon exercice :

Soit a un réel fixé et f une application continue de [a,+oo[ vers R telle que limite de f en +oo existe et soit finie. Montrer que f est bornée.

Donc d’après moi il nous suffit de montrer que cette fonction est minorée.
Le fait que f soit continue sur l'intervalle [a,+oo[, on peut donc dire que f est continue en a, et justement, peut on affirmer que la limite de f en a est égale a f(a) ?

[Maxmau]

Bonjour a tous,

Voilà l'énoncé de mon exercice :

Soit a un réel fixé et f une application continue de [a,+oo[ vers R telle que limite de f en +oo existe et soit finie. Montrer que f est bornée.

Donc d’après moi il nous suffit de montrer que cette fonction est minorée.
Le fait que f soit continue sur l'intervalle [a,+oo[, on peut donc dire que f est continue en a, et justement, peut on affirmer que la limite de f en a est égale a f(a) ?

Bj
A cause de la limite finie en +infini, montre qu'on peut choisir b (b>a) tel que f soit bornée sur [b,+infini[

[Sheeppowa]

D'accord je vais voir ca, merci

[Matt_01]

Je te conseille de faire comme Maxmau le dit (pour cela il faut écrire le fait que f converge en +inf).
Sinon on peut faire un truc un peu plus exotique en disant que si f est non bornée, on peut former une suite u_n telle que f(u_n) diverge en +/- inf. Si u_n est bornée, d'après Bolzano Weierstrass on en extrait une sous suite v_n convergente vers disons l, mais alors f ne serait pas continue en l (on a lim f(v_n) qui diverge).
Sinon u_n est non bornée, on peut en extraire une suite v_n qui diverge vers + inf, et donc f(v_n) diverge, alors qu'elle doit converger vers la limite de f en +inf.