Anneaux (MPSI)

[Anonyme]

Bonjour
A et B sont 2 anneaux d'unité e et e' dans AxB
On définit x et + , (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')=(xx',yy')

On me demande de montrer que (AxB,+,x) est un anneau.

x',y est il bien un couple? (j'aimerai en être sur)...ou bien est ce une
notation particulière...

Pour montrer que c'est un anneau, dois je prouver toutes les
caractéristiques ou trouver un anneau de référence (mais lequel)?

Si je dois prouver les caractéristiques d'un anneau, j'ai un problème
sur la commutativité de + et des couples...

merci d'avance
Loic

[Anonyme]

Loic wrote:

> Bonjour
> A et B sont 2 anneaux d'unité e et e' dans AxB
> On définit x et + , (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')=(xx',yy')
>
> On me demande de montrer que (AxB,+,x) est un anneau.
>
> x',y est il bien un couple? (j'aimerai en être sur)...ou bien est ce une
> notation particulière...

Bonjour Loîc,

Sans rentrer dans une définition qui serait sans doute un peu trop formel,
les couples qui t'interessent ici sont les éléments du produit cartésien
AxB = {(x,y) avec x dans A et y dans b}. Attention à ne pas confondre le
couple (x,y), élément de AxB et l'ensemble {x,y} qui est une partie de A U
B. En particulier (x,y) différent de (y,x) alors que {x,y}={y,x}.

>
> Pour montrer que c'est un anneau, dois je prouver toutes les
> caractéristiques ou trouver un anneau de référence (mais lequel)?
>
> Si je dois prouver les caractéristiques d'un anneau, j'ai un problème
> sur la commutativité de + et des couples...

J'imagines que vous avez déjà abordé les espaces vectoriels. Tu sais que
l'ensemble des applications de R dans R en est un exemple. Pour justifier
que l'ensemble des fonctions continues de R dans R est également un espace
vectoriel vous avez en fait montré qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel
de l'exemple précédent, ce qui évite d'avoir à vérifier tous les axiomes de
définition d'un ev. Je pense que c'est à cela que tu fais allusion quand tu
parles d'anneau de référence. Je crains qu'ici tu vas devoir vérifier
chaque axiome. Examinons la commutativité de l'addition.
Soient (x,y) et (x',y') dans AxB, alors
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
(x,y)+(x',y')=(x'+x,y'+y) (commutativité de + dans A et B)
(x,y)+(x',y')=(x',y')+(x,y)
Et voila, la commutativité est prouvé. Il te reste à prouver les autres.

Cordialement,

-- Eric Guirbal

[Anonyme]

merci

Eric Guirbal a écrit :
> Loic wrote:
>
>[color=green]
>>Bonjour
>>A et B sont 2 anneaux d'unité e et e' dans AxB
>>On définit x et + , (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')=(xx',yy')
>>
>>On me demande de montrer que (AxB,+,x) est un anneau.
>>
>>x',y est il bien un couple? (j'aimerai en être sur)...ou bien est ce une
>>notation particulière...
>
>
> Bonjour Loîc,
>
> Sans rentrer dans une définition qui serait sans doute un peu trop formel,
> les couples qui t'interessent ici sont les éléments du produit cartésien
> AxB = {(x,y) avec x dans A et y dans b}. Attention à ne pas confondre le
> couple (x,y), élément de AxB et l'ensemble {x,y} qui est une partie de A U
> B. En particulier (x,y) différent de (y,x) alors que {x,y}={y,x}.
>
>
>>Pour montrer que c'est un anneau, dois je prouver toutes les
>>caractéristiques ou trouver un anneau de référence (mais lequel)?
>>
>>Si je dois prouver les caractéristiques d'un anneau, j'ai un problème
>>sur la commutativité de + et des couples...
>
>
> J'imagines que vous avez déjà abordé les espaces vectoriels. Tu sais que
> l'ensemble des applications de R dans R en est un exemple. Pour justifier
> que l'ensemble des fonctions continues de R dans R est également un espace
> vectoriel vous avez en fait montré qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel
> de l'exemple précédent, ce qui évite d'avoir à vérifier tous les axiomes de
> définition d'un ev. Je pense que c'est à cela que tu fais allusion quand tu
> parles d'anneau de référence. Je crains qu'ici tu vas devoir vérifier
> chaque axiome. Examinons la commutativité de l'addition.
> Soient (x,y) et (x',y') dans AxB, alors
> (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')
> (x,y)+(x',y')=(x'+x,y'+y) (commutativité de + dans A et B)
> (x,y)+(x',y')=(x',y')+(x,y)
> Et voila, la commutativité est prouvé. Il te reste à prouver les autres.
>
> Cordialement,
>
> -- Eric Guirbal
>[/color]