Anneau de Boole

[Dinozzo13]

Bonjour, je rencontre quelque difficultés sur l'exercice suivant :

Soit un ensemble fini et .
Le but est de montrer que est un anneau commutatif.

Doit-on appliquer la définition et redémontrer toutes les propriétés ou y a-t-il un moyen plus astucieu de s'en sortir ?
Enfin, E devrait être non vide, non ?

Merci d'avance.

[ev85]

y a-t-il un moyen plus astucieux de s'en sortir ?

Oui. Je crois que c'est dans un fil récent.

Enfin, E devrait être non vide, non ?

Non. Dans le cas où E est vide tu obtiens l'anneau nul.

[Judoboy]

C'est quoi delta ?

[Dinozzo13]

Salut !

est la différence symétrique :

[Dinozzo13]

Oui. Je crois que c'est dans un fil récent.

Lequel ? Je ne l'ai pas trouvé.
Parce qu'il doit y avoir pas mal de propriété à démontrer.

[ev85]

Lequel ? Je ne l'ai pas trouvé.
Parce qu'il doit y avoir pas mal de propriété à démontrer.

Sauf si tu trouves un isomorphisme d'anneaux.

D'ailleurs c'est toi qui posais la question.

[Judoboy]

J'ai envie de dire que ton ensemble c'est le même que ((Z/2Z)^n,+,x) avec n=card(E), mais je sais pas comment conclure.

[ev85]

J'ai envie de dire que ton ensemble c'est le même que ((Z/2Z)^n,+,x) avec n=card(E), mais je sais pas comment conclure.

Quand on a envie c'est très mauvais de se retenir (Tycho-Brahé).

J'écrirais plutôt .

[Dinozzo13]

D'abord merci pour vos réponses :+++:

Petite queston pourquoi serait égal à ?

[ev85]

D'abord merci pour vos réponses :+++:

Petite queston pourquoi serait égal à ?

Ils ne sont pas égaux, ils sont isomorphes. Cela veut dire que les calculs dans l'un se passent comme les calculs dans l'autre. C'est ce qui est dit dans le fil signalé plus haut.

[Dinozzo13]

Ils ne sont pas égaux, ils sont isomorphes. Cela veut dire que les calculs dans l'un se passent comme les calculs dans l'autre. C'est ce qui est dit dans le fil signalé plus haut.

Et donc, il suffirait de démontrer les propriétés sur ce nouvel anneau pour montrer que .

[ev85]

Et donc, il suffirait de démontrer les propriétés sur ce nouvel anneau pour montrer que .

Oui mais comme est un anneau, il est clair que en est un autre.

[Judoboy]

Allez j'arrive pas à dormir : on a une bijection immédiate de P(E) dans (Z/2Z)^E


f : P(E) -> (Z/2Z)^E
A => g : E-> Z/2Z
x => 1 si x appartient à A, 0 sinon


f^-1 est relou à écrire mais on voit très bien ce que c'est.

f^-1 "transpose" la structure de (Z/2Z)^E sur P(E) avec les lois de l'exercice (ça se vérifie facilement).
C'est ce point-là que j'arrive pas trop à expliciter clairement, mais en gros l'ensemble des f^-1(x) avec x appartient à (Z/2Z)^E, muni des lois delta et intersection, vérifie les mêmes lois de calcul que les x de (Z/2Z)^E avec des lois + et x.

[ev85]

f^-1 est relou à écrire mais on voit très bien ce que c'est.

Bah ! Pas du tout !

Soit , on a .