Anlayse complexe

[pierresimpore]

Bonjour,
1) On me demaande d'etudier la nature de la serie


2) calculer la limite suivante:



Mes element de reponses:
1) je n'ai pas pu trouver la nature de la serie, j'ai utilisé le critere d'Alembert et ca ne donne rien, j'ai decomposé
en rien non plus. j'ai donc besoin de piste

2) si je pose
on a


maintenant completement bloqué
quand je met sous forme trigo et que j'essaie de calculer la limite de la partie réelle et imaginaire, je tombe toujours sur des formes indeterminées.

[Ben314]

Salut,

1) On me demaande d'etudier la nature de la serie

Pour la question 1), archi fastoche : Déjà Sn ne dépend pas de n (vu qu'on somme sur n) mais uniquement de k et ensuite, vu qu'on somme sur n une quantité constante (i.e. qui ne dépend pas de n), soit la constante qu'on somme est nulle et la somme fait 0, soit elle est non nulle et la somme fait l'infini. :zen:

Dans la foulée, c'est bien de mettre une majuscule à d'Alembert, mais ça serait encore mieux d'orthographier correctement son nom, et plutôt que d'utiliser d'Alembert lui même (en plus je sais pas comment tu as retrouvé ces reste, il a été enterré dans une tombe anonyme semble t'il) tu ferais mieux d'utiliser le critère qui porte son nom. :zen:

[pierresimpore]

lol, j'ai fait une erreur dans l'ecriture de S_n.
je rectifie alors

[Ben314]

Bon, sinon trêve de plaisanteries.
Je suppose que ta série à étudier, c'est , c'est à dire où , (mais c'est quand même pas con de se rendre compte que ce que tu as écrit, c'est du grand n'importe quoi...).

En fait, dans un cas comme celui là, il est clair que la série n'est pas absolument convergente (certain parlent de "séries semi-convergentes") donc tu ne prouvera pas sa convergence à l'aide de critères comme celui d'Alembert ou de Cauchy.
Par contre c'est quasi un "cas d'école" où on s'en sort en utilisant une sommation par parties (appelée aussi "transformation d'Abel" ou "sommation d'Abel") qui est l'équivalent discret d'une intégration par parties.
Sinon, si tu l'a vu, il y a un "critère d'Abel" qui justement se déduit de la sommation par parties d'une série.

[pierresimpore]

je ne connais pas ce critere d'Abel mais j'ai lancé une petite recherche sur google.
pour le moment est ce que vous pouvez me donner une piste pour le 2)?

[Ben314]

Pour le 2), si ça t'amuse, tu peut l'écrire sous forme exponentielle comme tu le fait, mais de toute façon, tu as déjà
donc la suite n'admet pas de limite.

[pierresimpore]

je bloque sur une etape: D'apres google le theoreme d'Abel dit:
Soit deux suites et . on pose , si la suite tend vers 0 et la suite est
bornée et si est une serie absolument convergente alors la serie est convergente.
Donc je pose:

et .
1)

2)
or est absolument convergente donc la serie de terme
est absolument convergente.

3) je ne suis pas trop sur de ce raisonnement, verifiez, on a
or
donc
c'est à dire donc bornée
Conclusion la serie est convergente.

Pour le 2), si ça t'amuse, tu peut l'écrire sous forme exponentielle comme tu le fait, mais de toute façon, tu as déjà
donc la suite n'admet pas de limite.

là je ne comprend pas tend vers donc n'a pas de limite?

[Ben314]

Première remarque : ça

c'est un peu mieux qu'avant, mais c'est pas génial non plus vu que ça dépend absolument pas de k vu que tu somme pour tout les k>=1.
C'est exactement la même chose que qui vaut 1+2+3+4+5=15 et qui dépend clairement de rien du tout.

Sinon, concernant la somation d'Abel, c'est pas génial.

Deuxième remarque : Le critère en question on l'utilise très souvent dans le cas où la suite est une suite décroissante de réels positifs tendant vers 0 (ce qui est clairement le cas ici) et dans ce cas, la première condition est trivialement remplie car, vu que pour tout k, on a

En particulier, très fréquemment, c'est cette condition là (suite décroissante de réels positifs tendant vers 0) qu'on met dans le "critère d'Abel" plutôt que de demander que soit convergente.
Jusque là, c'est pas très grave, mais ça fait un peu "concon" d'utiliser un truc comme le critère de Cauchy pour montrer que la série convergeait.

c'est à dire donc bornée

Catastrophe !!!!!!!!
Il faudrait que tu te rend compte qu'avec ce type d'argument consistant à majorer par un truc qui dépend de n pour montrer qu'elle est bornée, ça serait pas bien difficile de montrer qu'une suite absolument quelconque est bornée vu qu'il suffirais d'écrire que son module est majorée par... lui même...
Donc non, ça va pas du tout vu que pour montrer qu'une suite est bornée, il faut évidement majorer par un truc qui ne dépend pas de n !!!!
En particulier, dans ce type de contexte (où on est obligé d'utiliser le critère d'Abel), tu peut être a peu prés sûr que de majorer le module de la somme par la somme des modules, c'est une mauvaise idée (vu qu'à peu prés systématiquement, la somme des modules n'est pas bornée).
Ici, ce qu'il faut écrire, c'est que (somme des n premiers termes d'une suite géométrique)

là je ne comprend pas tend vers donc n'a pas de limite?

Ben oui, vu qu'on sait que si la suite complexe tendait vers le complexe alors la suite réelle devrait tendre vers le réel

[Kolis]

Bonjour !
Pour la convergence de avec voici une méthode sans utiliser le théorème d'Abel.
Soit . Il est facile de voir que est absolument convergente.
Ensuite tu exprimes les sommes partielles de en fonction de celles de .

[pierresimpore]

Ok, merci pour ses remarques:
pour
apres quelques transformations je viens trouver que
.
je vais voir aussi la methode proposée par Kolis

[Ben314]

La "méthode de colis", à un poil de c.. prés, c'est la "méthode de somation par parties" donc c'est très précisément... la même chose.