Anisotrope => définie positive ou définie négative

[chombier]

Bonjour à tous,

Voici ma question :
Soit K un corps (K = Q, R ou C), et f une forme à symétrie hermitienne (bilinéaire symétrique si K = R ou Q).

Proposition : Si f est anisotrope (on dit parfois que f est définie), alors elle est soit définie positive, soit définie négative

Preuve (par contraposée) : On suppose que f n'est ni définie positive, ni définie négative.
Soient donc , tels que et
Alors il existe , tel que
Ainsi, f n'est pas définie

Problème : Je n'arrive pas à prouver l'existence de z. J'ai besoin d'aide !

J'ai bien pensé à développer , puis
, que j'ai considéré comme un polynôme en lambda, mais ça n'a rien donné...

Merci d'avance pour votre aide

Je reviens sur les définitions ci dessous .

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Soit E un K-espace vectoriel (K = Q ou R ou C)
Soit f une forme à symétrie hermitienne sur E.

Def :
Def :
Def : f est non dégénérée si

Def : f est positive si
Def : f est negative si

La définition suivante est évitée par beaucoup d'auteurs qui refusent de parler de "forme définie" :
Def : f est définie (ou anisotrope) si
Def : f est définie positive si f est définie et positive (wikipedia)

Voici les définitions alternatives :
Def : f est définie positive si
Def : f est définie positive si f est positive et non degénérée ((El Hage Hassan))

Je ne sais pas pourquoi le terme de "forme définie" est décrié...

[Ben314]

Salut,
Si tu as et alors la fonction (du second degré) est réelle pour tout réel , elle est négative en 0 et positive en +oo. Donc dans , elle s’annule au moins une fois.

Par contre dans , c'est faux : par exemple la forme quadratique si est anisotropes mais n'est ni définie positive, ni définie négative.

P.S. : Et pour moi, une "forme définie", c'est une forme injective (vu de E dans E*), c'est à dire telle que l'on ait :
qui, en dimension finie, est la condition que assure qu'on a et donc qu'on a (alors que le fait que le cône isotrope soit réduit à 0, je vois pas trop à quoi ça sert dans le cas le plus général).
Mais bon, le vocabulaire, c'est ... rien que du vocabulaire... donc si tu me dit que tu as une autre définition, ben pourquoi pas . . .

[chombier]

Merci Ben ! Un argument d'analyse donc... C'est ce que je craignais !

Mais je suppose que c'est obligatoire d'en passer par là, puisqu'on utilisé la complétude de R (via le TVI), et que c'est justement ce qui cloche avec Q !

Pour moi la définition que tu as donnée, c'est celle d'une forme non dégénérée. Mais comme tu dis, c'est du vocabulaire !

[chombier]

J'ai avancé un peu et j'ai l'impression que j'ai trouvé quelque chose :

Tout d'abord, il manque un petit truc dans la démonstration du dessus : il faut que E soit de dimension finie pour que la fonction soit continue.

Dans ce cas, on trouve le résultat suivant :

Si f est une forme bilinéaire symétrique sur un R-espace vectoriel de type fini et que f est anisotrope, alors
Soit f est positive, et c'est un produit scalaire
Soit f est négative, et (-f) est un produit scalaire


Si f est une forme bilinéaire symétrique sur un R-espace vectoriel de type fini alors
f est anisotrope => f est positive ou f est négative.

Si f est une forme bilinéaire symétrique sur un K-espace vectoriel alors
f est anisotrope => f est non dégénerée

Si f est une forme bilinéaire symétrique sur un R-espace vectoriel alors
f est positive ou f est négative => l'inégalité de Cauchy-Schwart est vérifiée

Si f est une forme bilinéaire symétrique sur un R-espace vectoriel alors
f est positive et non dénégérée <=> f est positive et anisotrope (on dit alors que f est définie-positive)
f est négative et non dénégérée <=> f est négative et anisotrope (on dit alors que f est définie-négative)

Si quelqu'un me lit, merci d'avance de me corriger ou éventuellement de confirmer que je n'ai pas écrit n'importe quoi.

Merci d'avance !!!

[GaBuZoMeu]

[quote="chombier"]
Tout d'abord, il manque un petit truc dans la démonstration du dessus : il faut que E soit de dimension finie pour que la fonction soit continue./quote]

Bonsoir,

Nan, pas besoin : on reste sur le plan engendré par x et y, qui est bien de dimension finie (= 2).

[chombier]

Merci GaBuZoMeu

C'est encore plus fort comme résultat.

Si une forme bilinéaire symétrique sur un R-espace vectoriel est anisotrope, alors : soit c'est un produit scalaire, soit (-f) est un produit scalaire.