Angles d'Euler

[N1N1QM]

Bonjour.

Je m'intéresse actuellement aux angles d'Euler. Plus precisement, je me suis posé le problème suivant.

Soit un repère Orthonormé (O, i, j, k) et un point A dont les coordonnées dans ce repère sont (x, y, z)
Soit un autre repère Orthonormé (P, l, m, n). Sachant que P et O sont confondus, que les deux repères ont la même unité de longueur, et que les axes (l,m,n) et (i,j, k) forment respectivement un angle (alpha, beta, phi), quelles seront les coordonnées du point A dans le repère (P, l, m, n) ?
Question subsidiaire, quelles seront les coordonnées de A dans le deuxiàme repère si O et P ne sont pas confondus (sachant que les coordonnées de P par rapport au premier repere sont alors (a, b,c)

J'ai beaucoup réfléchi sur ce problème, et intérogé mon prof de maths qui m'a conseillé de faire une recherche sur les angles d'Euler. Cependant, la page Wikipedia et les suivantes ne répondent pas à mon probleme. J'ai tenté de découvrir la réponse par moi même, mais vu que les angles interfèrent les uns les autres, je ne trouve rien car je m’emmêle les pinceaux. Je n'ai en effet besoin que d'une formule mathématique et je ne trouve que des exemples de cas particuliers.

PS : je suis en SPE en prépa intégrée (équivalent PCSI).

[Dlzlogic]

Bonjour,
C'est un problème classique, mais on le traite rarement en connaissant les angles, par contre on le traité généralement en connaissant des couples de points homologues.
Dans le plan, si A est l'angle de rotation, la formule est la suivante :
X = x cosA - y sinA
Y = x sinA + ycosA.
Dans l'espace, je ne connais pas la formule par coeur.
Je vous conseille d'établir la formule en plan, puis de l'établir en 3D.
Si ce n'est pas un problème strictement théorique, je pourrai peut-être vous aider.

En tout cas, la formule générale est
X = TX + XX x + XY y + XZ z
Y = TY + YX x + YY y + YZ z
Z = TZ + ZX x + ZY y + ZZ z
où TX, TY, TZ sont les paramètres de la translation
XX, XY, XZ, ... ZX, ZY, ZZ sont les paramètres de la transformation Homothétie-Rotation-Affinité.
Dans votre cas TX = TY = TZ =0
Le paramètre de translation et celui de l'affinité est 1, restent les paramètres de la rotation qui sont des lignes trigo des angles.

[N1N1QM]

Je suis désolé, mais je n'ai absolument pas compris la deuxieme partie du message. Je vais m'atteler à la première formule. Cependant, n'existe t'il pas un équivalent matriciel de ce problème (matrices de rotation etc...) ?

[Dlzlogic]

Concernant les matrices. Il s'agit d'un outil de calcul que je n'ai pas utilisé depuis près de 50 ans, alors je ne pourrai pas vous répondre sur le sujet.
En seconde partie, je vous ai donné la forme générale de la formule. L'utilisation des valeurs numériques des angles est peu utilisée, en tout cas pas par moi. Par contre cette formule est utilisée, par exemple, dès qu'il s'agit de GPS.
Toute la question est de savoir exactement ce que vous voulez faire, établir la formule, ou l'utiliser, dans quel contexte etc.

[N1N1QM]

C'est dans le cadre d'un projet de programmation. Dans la mesure ou j'ai un point situé dans l'espace, et une camera située dans le même espace (qui regarde dans une direction selon mes trois angles), quelles seront les coordonnées de ce point pour la caméra, c'est a dire dans mon deuxième repère, sur l'ecran de l'utilisateur.

[Dlzlogic]

Bon, donc, vous connaissez la valeur numérique des 3 angles. La caméra est munie d'un système de mesure angulaire.
Je calcule ça demain et je vous tiens au courant.

[N1N1QM]

merci beaucoup...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Avant de faire le calcul, j'ai été faire un tour sur le net, et j'ai trouvé ceci :
http://polytech.univ-bpclermont.fr/ge/projets/wakka.php?wiki=P09A04index
Cela concerne la rotation d'objet dans l'espace, telle que vous semblez le présenter.
Donc, il y a là, la réponse précise à votre question.

Cependant, je ne crois pas que ça vous aidera. Votre problème n'est pas la rotation d'un objet dans l'espace, mais le changement de point d'observation. Quel type de caméra utiliser vous pour mesurer les angles des 3 axes ?
Le second repère : l'écran de l'utilisateur est un repère à 2 dimensions, à moins que justement le but soit d'avoir une visualisation 3D, mais en ce cas, il faut 2 caméras.
En conclusion, j'ai pas vraiment compris votre problème.

[ev85]

Bonjour.

Je m'intéresse actuellement aux angles d'Euler. Plus precisement, je me suis posé le problème suivant.

Soit un repère Orthonormé (O, i, j, k) et un point A dont les coordonnées dans ce repère sont (x, y, z)
Soit un autre repère Orthonormé (P, l, m, n). Sachant que P et O sont confondus, que les deux repères ont la même unité de longueur, et que les axes (l,m,n) et (i,j, k) forment respectivement un angle (alpha, beta, phi), quelles seront les coordonnées du point A dans le repère (P, l, m, n) ?
Question subsidiaire, quelles seront les coordonnées de A dans le deuxiàme repère si O et P ne sont pas confondus (sachant que les coordonnées de P par rapport au premier repere sont alors (a, b,c)

J'ai beaucoup réfléchi sur ce problème, et intérogé mon prof de maths qui m'a conseillé de faire une recherche sur les angles d'Euler. Cependant, la page Wikipedia et les suivantes ne répondent pas à mon probleme. J'ai tenté de découvrir la réponse par moi même, mais vu que les angles interfèrent les uns les autres, je ne trouve rien car je m’emmêle les pinceaux. Je n'ai en effet besoin que d'une formule mathématique et je ne trouve que des exemples de cas particuliers.

PS : je suis en SPE en prépa intégrée (équivalent PCSI).

En infographie, pour traiter ce genre de problème, on travaille en coordonnées homogènes. Chaque point est représenté par quatre coordonnées et chaque transformation, ici rotation et projection est représentée par une matrice .

[Dlzlogic]

En infographie, pour traiter ce genre de problème, on travaille en coordonnées homogènes. Chaque point est représenté par quatre coordonnées et chaque transformation, ici rotation et projection est représentée par une matrice .

Bonjour EV,
On a déjà évoqué cette quatrième coordonnée, mais je ne sais plus si c'est avec toi.
Sinon, je dois dire que c'est difficile à comprendre, je sais bien qu'une transformation (translation rotation etc.) est une application linéaire, il est donc logique d'utiliser les matrices pour les traiter, mais comme on ne fait pas réellement d'opération sur ces transformations, l'utilisation des matrices n'apporte pas grand-chose à mon avis.
Dans un second temps (ou par ailleurs) il y a généralement un système d'équations à résoudre, et le rajout d'une quatrième coordonnée est un astuce de calcul qu'il me parait nécessaire d'expliquer, dans tout les cas où on y fait référence.
Il est vrai que j'ai fait assez peu de transformation en 3D, puisque je travaille le plus possible en 2.5D. Je n'ai naturellement jamais eu à utiliser une coordonnée supplémentaire, et il ne semble pas que l'étude citée y fasse non plus référence.

[N1N1QM]

bonjour.

Merci pour votre réponse, j'ai enfin trouvé ce que je cherchais vainement à calculer (essayé avec maple, celas semble correspondre). Je compte me servir de cette formule pour obtenir les coordonnees du point dans le referentiel de la camera, x et t correspondant aux coordonnées sur l'ecran, et z a la distance du point. En tout cas, merci beaucoup de vos réponses !