Analyse

[Bigorneau]

Bonsoir,

Voici un problème qui m'intrigue :

1) Soit dans tel que , pour il existe un intervalle O de sorte que .

2) Sous les même conditions, soit une collection de points fini, il existe s et t des réels (et s non nul) tel que soit dans A.

De ce que je comprends, est dense dans alors on doit pouvoir envoyer sur les éléments de . La rédaction rigoureuse m'échappe.

Merci pour vos suggestions.

[zygomatique]

salut

l'application y -- > sy + t est affine et continue et envoie un intervalle sur un intervalle

on peut donc envoyer Y sur un intervalle I vérifiant la propriété 1/ avec des s et t bien choisis ...

[Ben314]

Slaut,
Moi, c'est principalement le "truc qui ne pose pas de problème" qui m'en pose : en sachant uniquement que m(n'importe quoi) est positif ou nul, il est complètement évident que la propriété en question est vrai (il suffit bien sûr de prendre mu=0) et on n'a évidement besoin d'aucune hypothèse sur E (si E est vide, ben c'est vrai quand même) et on peut aussi prendre absolument n'importe quel intervalle pour I.
Bref, je vois vraiment pas en quoi une telle trivialité va pouvoir servir à quoi que ce soit...

Évidement, mon petit doigt me souffle que la propriété qui pourrait être extrêmement utile ici, c'est que :
Étant donné une partie quelconque E de R telle que m(E)>0 et étant donné un réel mu quelconque de [0,1[, il existe au moins un segment I de R (dépendant bien sûr de E et de mu) tel que m(EnI)>mu.m(I).

Dont le sens n'a absolument rien à voir avec la "trivialité" du premier post...

[Bigorneau]

En effet pour l'application! Mais ne contient pas forcément d'intervalle et son intersection avec n'est donc pas forcément un intervalle. Autrement dit certains points de mon application ne seront pas dans E.

Comment justifier qu'il est toujours possible de construire une application de sorte que l'image soit inclue dans E ?

[Ben314]

Même en écrivant "où mu est dans ]0,1[", c'est toujours aussi "sans aucun intérêt" vu que ça dit uniquement qu'il existe un intervalle I tel que : il suffit ensuite de prendre pour que l'inégalité que tu as écrit soit vérifiée.

[Bigorneau]

En effet, vous avez raison. La manière dont vous l'avez rédigé est correcte.

[Ben314]

Je te donne l'idée (à toi de rédiger correctement) :
On commence par prendre un mu très très proche de 1 (voir la suites des calculs pour savoir précisément lequel) et le théorème çi dessus nous dit qu'il existe un segment [a,b] tel que ... (modulo bien sûr d'avoir compris que le théorème il dit "quelque soit mu il existe un segment..." et pas "quelque soit le segment il existe un mu...")
Ensuite, on choisi s>0 suffisamment petit pour que les s.y_i soient tous dans un intervalle [c,d] bien plus petit que [a,b] (voir la suite des calculs pour voir combien de fois plus petit...)
Ensuite, pour un i fixé de 1..n, On note F_i l'ensemble des t de [a-c,b-d], tel que le réel t+s.y_i soit dans E.
On montre alors que F_i a une mesure au moins égale à ... et donc que le complémentaire de F_i dans [a-c,b-d] a une mesure inférieure à ...
Vu la faible mesure des complémentaires des F_i, ils ne peuvent pas à eux tous recouvrir le segment [a-c,b-d] tout entier et ça prouve qu'il existe un t qui est dans tout les F_i.

P.S. : c'est peut-être plus compréhensible en disant (après avoir choisi l'intervalle [a,b]) que, quitte à translater l'ensemble E, on peut considérer que [a,b]=[0,b].
De même, quitte à translater les y_i, on peut supposer qu'il au départ dans du [0,M] et donc qu'en les multipliant par s, ils vont être dans du [0,d] avec d aussi petit qu'on veut.

[Bigorneau]

D'accord, je comprends l'argument ! Les étaient vraiment l'étape manquante dans ma démarche.
Merci infiniment, je vais pouvoir me coucher serein .