Pb d'analyse

[abel]

Bonjour à tous :
Voilà, j'aimerais juste savoir s'il était possible de demontrer une propriété :
- f est une fonction C0 sur un segment tel qu'il existe c dans ]a,b[ tel que pour tout x dans [a,b] : f(c) > f(x) (on supposera qu'un tel c est unique pr ne pas alourdir).
Est ce qu'on peut affirmer qu'il existe un intervalle non trivial sur lequel f est strictement décroissante ??? Ceci me parait evident intuitivement mais je n'arrive pas à le mettre "au propre".

-Je pensais prendre un intervalle du type [c,c+h] mais je vois pas comment on faire en sorte que la fonction soit décroissante partout car ca n'empeche pas de trouver 2 valeurs d et e pr lesquelles d-Je pensais aussi "reduire" l'intervalle [c,c+h] tant qu'on rencontre de tels points d ou e mais le probleme est que je n'ai pas la garantie de me retrouver avc un intervalle non trivial (je risque de me retrouver avc le singleton c).

Merci à ceux qui répondront.

[Touriste]

Bonjour,

Pour moi, ta propriété est fausse. Un contre-exemple : les trajectoires du mouvement brownien. J'essaie de trouver un exemple plus simple et te fais signe, ce qui ne doit pas dissuader d'autres personnes de répondre !
Pour info, que fais-tu comme études ?

[abel]

Je suis en math spé (PSI) mais normalement ca serait un exo de niveau sup mais bon, je cale qud meme. Si on fait un dessin on voit bien que la courbe est "obligée de descendre" pr atteindre l'extremité...c'est ça que j'arrive pas à traduire.
Dans le cas ou la fonction est C1 par contre ca se demontre assez facilement (il suffit de dire que f' est negative en un point donc elle sera negative sur un intervalle) mais dans le cas continu j'y arrive pas (c'est peut etre impossible aussi je sais pas).
Merci qud meme.

[Touriste]

Je reste persuadée que la propriété est fausse dans le cas où la fonction est seulement continue. Je suis d'accord que dans le cas où la fonction est C1 (dérivable suffit peut-être ?) elle est vraie. Pour un contre-exemple il faut prendre quelque chose de très irrégulier.

[abel]

Le truc c'est que si on se place au voisinage à droite de c, on est bien obligé d'avoir une portion décroissante f(c) est majorant et est unique. En + de cela par continuité de f on peut se rapprocher arbitrairement de f(c) tout en restant inferieur à f(c)...