Analyse

par **pizzouille** » 22 Fév 2010, 22:11

bonjour,

f(x,y)=x^3+y^3+3*x*y+1

En utilisant le théorème de la fonction implicite, de montrer qu'il existe r>0 et une fonction psy : ]-r, r[ -> R de classe C1 qui pour tout x appartenant ]-r, r[
f(x, psy(x))=0

je ne sais pas comment faire pour utiliser le théorème de la fonction implicite dans cette question.

Merci d'avance de votre aide.

par **Ben314** » 22 Fév 2010, 22:24

Salut,
Est ce que tu connait le théorème des fonctions implicites ou l'as tu "oublié" ?
(l'exercice me semble une application assez immédiate...)

P.S. Comme souvent, l'article de Wikipédia est bien fait. Le cas particulier de la dimension 2 (beaucoup plus "visuel" et c'est celui dont tu as besoin) est donné en début d'article.

par **pizzouille** » 22 Fév 2010, 22:39

voila le théorème de mon cours :
Soient U un ouvert de R² et f : U -> R une fonction de classe C1.
Supposons (x0,y0) appartenant à U et f(x0,y0)=0 et (dérivée f)/(dérivée x)différent de 0.
alors il existe r>0 tel que dans B((x0,y0),r) inclus dans U
f(x,y)=0 se résoud en x
il existe psy ]x0-r, x0+r[ -> R de classe C1
pour tout x appartenant ]x0-r, x0+r[, (dérivée f)/(dérivée y)(x, psy(x))différent de 0 et psy '=(-(dérivée f)/(dérivée x)(x, psy(x))) / ((dérivée f)/(dérivée y)(x, psy(x)))

par **Ben314** » 22 Fév 2010, 22:51

Ben alors tu n'as plus qu'a appliquer bètement le théorème :
Vu le lien exercice/résultat_du_théorème, il est clair que tu doit prendre x0=0 et, pour le y0, tu sait qu'il doit vérifier f(x0,y0)=0 et ça ne te donne pas beaucoup de choix...
Aprés, tu n'as plus qu'a vérifier que la dérivée partielle (en y : ton théorème semble erroné...) de f en ce point est non nulle et ça roule...

par **pizzouille** » 22 Fév 2010, 23:38

car le prof a calculer psy'(0) puis psy''(0)
puis que psy'' est dérivable implique que psy(x) est développable en 0 à n'importe quel ordre.

par **Ben314** » 22 Fév 2010, 23:47

pizzouille a écrit:car le prof a calculer psy'(0) puis psy''(0)
puis que psy'' est dérivable implique que psy(x) est développable en 0 à n'importe quel ordre.

Heuuuu... je vois pas bien le rapport avec la question...
En fait, dans le théorème des fonction implicites, une bête analyse de la formule qui donne psi' (avec un i) montre que si la fonction f est de classe Cp alors psi l'est aussi, mais je sais pas si c'est ça ta question...

par **pizzouille** » 23 Fév 2010, 16:29

je me suis trompée on me demande de montrer que psi admet un DL 0 L'ordre 3 en 0.

et le professeur a utilisé cette méthode.

Et je ne comprends pas???

par **Ben314** » 23 Fév 2010, 16:42

C'est ce que je t'ais dit au dessus,

Dans ton théorème tu constate que psi' s'écrit en fonction de psi et des dérivées partielles de f (sauf qu'ici, vu qu'on connait f, on voit bien que les dérivées partielles sont de classe C^tout_ce_qu_on_veut).

Or ton théorème te "vend" que psi est C1. Cela signifie que psi' est C1 (puisqu'elle s'écrit à l'aide de psi) et cela veut dire que psi est en fait C2.
Mais, si psi est C2 alors psi' est aussi C2 (puisqu'elle s'écrit à l'aide de psi) ce qui veut dire que psi est en fait C3.
Mais, si psi est C3 alors psi' est aussi C3 (puisqu'elle s'écrit à l'aide de psi) ce qui veut dire que psi est en fait C4
.
.
.
A ton avis, psi elle est C^quoi dans un exo pareil ?

par **pizzouille** » 23 Fév 2010, 17:07

je ne comprends :§, désolé

par **Ben314** » 23 Fév 2010, 17:29

Bon, reprenons... (on oublie complètement le contexte)
1) Est tu d'accord que, si on a g(x)=3h(x)+h(x)²-sin(h(x)) et que h est C1 (ou C2 ou C3...) alors évidement g l'est aussi.
2) Si maintenant on a en fait g'(x)=exp(h(x))-h(x)^25+pi*h(x) et que h est C1 (ou C2, ou C3...) alors cela implique que g' est C1 (ou C2 ou C3...) or, dire que g' est C1 signifie trés exactement que g est C2 (si g' est C2 alors g est C3....)
3) Supposons maintenant qu'en fait on ait une formule du type
g'(x)=sin(g(x))+g(x)^32-exp(3*g(x)+g(x)²) et que g soit C1.
On en déduit que g' est C1 donc que g est C2 donc g' est C2 donc que g est C3....

Je ne vois pas ce que tu ne comprend pas !!!!

par **pizzouille** » 23 Fév 2010, 17:58

j'ai compris ce que vous m'avez expliquer, mais j'arrive pas à voir le rapport avec la question

par **Ben314** » 23 Fév 2010, 19:52

Le rapport avec la question c'est que, dans ton théorème tu as :

...il existe psi ]x0-r, x0+r[ -> R de classe C1
... psy '= "une fonction qui dépend de psy" (et des dérivées partielles de f)

et que, comme les dérivées partielles de f sont de classe C^ce_que_tu_veux, la fonction psi est elle aussi de classe C^ce_que_tu_veux.
Cela prouve en particulier qu'elle a un D.L. en 0 à l'ordre_que_tu_veux

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