Analyse- Polynomes ?

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Un controle important va arriver dans peu de temps, et je ne souhaite laisser aucun point d'ombre sur la leçon concernant les polynomes...
Je fais donc appel à vous en posant des questions sur la leçon:

1) Au début de la leçon, on a vu "deg" et "val".. Je me demande toujours, à quoi sert "val"? Concrètement, je ne l'ai jamais utilisé dans les exercices

2) A propos de la division euclidienne, je ne comprends pas comment on peut diviser des polynomes en fait ? (je n'étais pas là lors de ce chapitre donc il m'est plutot inconnu)

3) Je ne comprends pas exactement ce qu'est un polynome irréductible(deg1 irreductible dans K mais deg2 a delta négatif dans R l'est aussi, donc je me dit qu'un polynome est irréductible quand il n'a pas de racine, mais là c'est surement grave, mais je me demande pourquoi un polynome de degré 1 n'a pas de racine...)

4) Quand a-t-on un polynome unitaire?

5) Quand deux polynomes sont-ils associés?

6) J'aurais besoin d'un éclaircissement au niveau de l'ordre de multiplicité, comment le trouver, et à quoi correspond "X-a" que je vois un peu partout dans la leçon

7) Je n'ai rien compris à la décomposition dans R et dans C au niveau des notations; avec les exercices, j'arrive a peu près à décomposer dans R, mais c'est tout. J'ai du mal dans C, et bien sur c'est en ayant les exercices en support, parce qu'avec la leçon, je comprends rien(On a P=Lambda*Produit des i de 1 à p de (X-Zi)^mi ... j'ai les explications sur chaque donnée, mais je ne vois pas comment appliquer la décomposition)

Vous n'etes pas obligés de répondre à tout, mais toute réponse reste bonne à prendre...
Merci d'avance

[Pianoo]

Bonjour,

2) A propos de la division euclidienne, je ne comprends pas comment on peut diviser des polynomes en fait ? (je n'étais pas là lors de ce chapitre donc il m'est plutot inconnu)

Tu sais que l'on peut multiplier des polynômes, par exemple :
à partir de ça on a défini la division de polynômes, et dans notre cas :
divise
mais aussi divise
C'est comme avec des nombres :
, on dit alors que divise et que divise .

à quoi ça sert ?
Et bien par exemple pour simplifier la fraction
ça donne : ce qui est bien pratique si on a besoin de dériver ou de trouver une primitive (par exemple).

Pour les méthodes de division je te renvoie vers ton cours parce que c'est un peu long à expliquer.

3) Je ne comprends pas exactement ce qu'est un polynome irréductible(deg1 irreductible dans K mais deg2 a delta négatif dans R l'est aussi, donc je me dit qu'un polynome est irréductible quand il n'a pas de racine, mais là c'est surement grave, mais je me demande pourquoi un polynome de degré 1 n'a pas de racine...)

Je te laisse regarder ta définition d'un polynôme irréductible.

Dans R les polynômes de degré 1 et de degré 2 à discriminant strictement négatif sont irréductibles oui.
Mais après tu conclus un peu vite.
On peut dire que si un polynôme est irréductible alors il n'a pas de racine.
La réciproque est fausse !!!
Exemple :
le polynôme n'a pas de racine dans R , pourtant il n'est pas irréductible puisqu'il s'écrit produit de deux polynômes non constants.

4) Quand a-t-on un polynome unitaire?

Un polynôme est unitaire lorsque le terme de plus haut degré est 1.
est unitaire mais ne l'est pas.

6) J'aurais besoin d'un éclaircissement au niveau de l'ordre de multiplicité, comment le trouver, et à quoi correspond "X-a" que je vois un peu partout dans la leçon

Si un polynôme s'écrit et que alors est une racine d'ordre de multiplicité .
En gros tu cherches à factoriser par un maximum de fois.
exemple :

je vois que 1 est racine de , donc je factorise par , j'obtiens :

Est-ce que je peux encore factoriser dans ?
Oui puisque 1 est racine de , on obtient :

Je peux encore factoriser , après calculs j'obtiens :

Cette fois je ne peux plus factoriser par ,
j'ai donc l'ordre de multiplicité de la racine 1, c'est : 3.

Bon l'exemple est simple mais c'est ça l'idée, sinon il y a une autre méthode avec des dérivées ... à voir si tu as fait ça en cours.

7) Je n'ai rien compris à la décomposition dans R et dans C au niveau des notations; avec les exercices, j'arrive a peu près à décomposer dans R, mais c'est tout. J'ai du mal dans C, et bien sur c'est en ayant les exercices en support, parce qu'avec la leçon, je comprends rien(On a P=Lambda*Produit des i de 1 à p de (X-Zi)^mi ... j'ai les explications sur chaque donnée, mais je ne vois pas comment appliquer la décomposition)

Je ne pas sûr de comprendre ce que tu veux dire ...

Dans R tu cherches les racines REELLES de ton polynômes et les facteurs de la forme aX^2+bX+c (de discriminant < 0)
Tu obtiens finalement une décomposition :

avec les qui sont réels et
dans le seonc produit, les discriminants sont à chaque fois tous < 0.

Dans C tu cherches les racines COMPLEXES de ton polynômes.
Tu obtiens finalement une décomposition :

avec les qui sont complexes.

[Yozamu]

Bonjour,
tout d'abord merci pour ces réponses !
J'ai cependant encore besoin de quelques précisions, mais sinon j'ai globalement mieux compris!

2) pour la methode, celle ci est elle celle utilisee?
http://www.matheureka.net/Q157.htm
dans ton exemple je ne vois pas comment tu aboutis au resultat

3) Dois je en conclure qu'un polynome de degré 1 n'a pas de racine?
Je me suis jamais penché sur la question et je pense que ce que je demande est stupide...

6) J'ai compris le principe mais il reste deux trucs que je ne comprends pas:
- Pourquoi dans ton exemple, au début tu dis que 1 est racine?
S'il l'est alors on devrait avoir P(1)=0 non? Or ici il me semble que c'est égal à 2...
- Je comprends qu'il faut alors factoriser par X-1 et pourtant je n'arrive pas à le faire!
Ca relève surement d'un niveau en dessous de cette leçon, peut etre que je devrais savoir le faire, mais non, je n'arrive pas à factoriser par X-1, ce qui fait que je ne comprends pas tes résultats...

[Pianoo]

Bonjour,
tout d'abord merci pour ces réponses !
J'ai cependant encore besoin de quelques précisions, mais sinon j'ai globalement mieux compris!

2) pour la methode, celle ci est elle celle utilisee?
http://www.matheureka.net/Q157.htm
dans ton exemple je ne vois pas comment tu aboutis au resultat

3) Dois je en conclure qu'un polynome de degré 1 n'a pas de racine?
Je me suis jamais penché sur la question et je pense que ce que je demande est stupide...

6) J'ai compris le principe mais il reste deux trucs que je ne comprends pas:
- Pourquoi dans ton exemple, au début tu dis que 1 est racine?
S'il l'est alors on devrait avoir P(1)=0 non? Or ici il me semble que c'est égal à 2...
- Je comprends qu'il faut alors factoriser par X-1 et pourtant je n'arrive pas à le faire!
Ca relève surement d'un niveau en dessous de cette leçon, peut etre que je devrais savoir le faire, mais non, je n'arrive pas à factoriser par X-1, ce qui fait que je ne comprends pas tes résultats...

2) oui ton lien donne une méthode très pratique.
Dans mon exemple je n'ai pas détaillé le calcul

3) Non non un polynôme de degré 1 a une racine !
J'aurais dû préciser :
Si un polynôme de degré > 1 est irréductible alors il n'a pas de racine.
(s'il en avait on pourrait le factoriser par un polynôme de degré 1 et l'autre facteur serait non constant).

6) J'ai pris un exemple simple dans lequel 1 est racine évidente (enfin quand je ne me plante pas de signe).
Oui j'ai fait une erreur de signe, je corrige ça dans mon premier message.

Pour factoriser par X-1 :
Soit tu utiliser la division détaillée dans ton lien (division par X-1 dans ce cas).
Soit tu écris P(X)=(X-1)(aX^3+bX^2+cX+d), avec a, b, c et d dans ton corps K.
Tu développes et il te reste à résoudre un petit système en les inconnues a, b, c et d en identifiant les coefficient du polynôme.