Analyse numérique

[zork]

bonsoir,

comment démontrer que A admet une unique décomposition LU ssi ce sont les mineurs de A

comment montrer l'implication vers la droite?
Plus généralement quelles sont les idées qui reviennent souvent dans une démo de ce type?

merci

[Maxmau]

bonsoir,

comment démontrer que A admet une unique décomposition LU ssi ce sont les mineurs de A

comment montrer l'implication vers la droite?
Plus généralement quelles sont les idées qui reviennent souvent dans une démo de ce type?

merci

Bj
Je suppose A inversible
si les déterminants mineurs principaux de A sont non nuls, la méthode du pivot de gauss pour trigonaliser A fonctionne jusqu'au bout sans avoir à permuter des lignes. Linterprétation matricielle des opérations élémentaires fournit la factorisation LU ( des 1 sur la diagonale de L)
Réciproquement si A = LU (des 1 sur la diagonale de L) les éléments diagonaux de U sont non nuls.
Les déterminants mineurs principaux de A s'expriment simplement en fonction de ceux de L et de U (multiplication par blocs) et sont non nuls.
On a unicité de la factorisation A = LU ( des 1 sur la diagonale de L) ( on suppose 2 factorisations ...etc...)

[zork]

Je suppose A inversible
si les déterminants mineurs principaux de A sont non nuls, la méthode du pivot de gauss pour trigonaliser A fonctionne jusqu'au bout sans avoir à permuter des lignes. Linterprétation matricielle des opérations élémentaires fournit la factorisation LU ( des 1 sur la diagonale de L)
Réciproquement si A = LU (des 1 sur la diagonale de L) les éléments diagonaux de U sont non nuls.
Les déterminants mineurs principaux de A s'expriment simplement en fonction de ceux de L et de U (multiplication par blocs) et sont non nuls.

pourrait tu être plus précis sur la trigonalisation par pivot de gauss et sur l'interprétation matricielle
de plus pourquoi déterminants mineurs de A s'expriment en fonction de ceux de L et U?

[Maxmau]

pourrait tu être plus précis sur la trigonalisation par pivot de gauss et sur l'interprétation matricielle
de plus pourquoi déterminants mineurs de A s'expriment en fonction de ceux de L et U?

Qq indic: (mais je te conseille de regarder un cours d‘analyse numérique matricielle)

A une matrice nxn inversible

Pout i < j et t réel, E(t,i,j) est la matrice nxn obtenue à partir de la matrice identité I en remplaçant par t le zéro à l’intersection de la colonne i et la ligne j.
(1) Opération élémentaire: Retirer t fois la ligne i à la ligne j ds la matrice A. Cela revient à prémultiplier A par la matrice élémentaire E(t,i,j)
(2) Comme i < j, E(t,i,j) est triangulaire inférieure avec des* «*1*» sur la diagonale. Son inverse n’est autre que E(-t,i,j)
(3) le produit de plusieurs matrices élémentaires est triangulaire inférieure avce des «*1*» sur la diagonale
(4) Prémultiplier A par E(t,i,j) ne change pas la valeur des déterminants mineurs principaux

Hyp (H) les mineurs principaux de A sont non nuls
Le premier terme de la première colonne de A est donc non nul. On peut le prendre comme pivot et faire apparaitre des zéros ds la première colonne sous la diagonale ( à l’aide d’opérations élémentaires). Cela revient à pré multiplier A par des matrices élémentaires.
A cause de (H) et (4) le deuxième terme de la deuxième colonne est non nul. On peut donc le choisir comme pivot et faire apparaitre des zéros dans la deuxième colonne sous la diagonale… etc…
A la fin du processus de trigonalisation, on a , en utilisant (3), mis en évidence une matrice triangulaire inférieure T avec des «*1*» sur la diagonale de telle sorte que TA=U où U est triangulaire supérieure. D’après (2) l’inverse de T soit L est facile à calculer. L est triangulaire inférieure avec des «*1*» sur la diagonale et: A = LU
L’existence de la décomposition LU de A est donc établie.(sous l’hyp (H), A étant supposée inversible)
L’unicité s’établit facilement

Réciproque:
Elle s’établit en remarquant que Ak = Lk Uk où Ak,Lk,Uk sont les matrices mineures principales d’ordre k respectivement de A,L,U.