Analyse numérique

[lucienG]

Bonsoir,

Je me dois de réaliser un projet qui porte sur l'application de divers schémas numériques classiques (méthodes d'Euler progressive, méthodes d'Euler
rétrograde, méthode de Heun, méthode de Crank-Nicolson, méthode de Runge-Kutta d'ordre 4...) au système de Lotka-Volterra (proie-prédateur).

Dans une question en particulier on me demande de déterminer l'ordre de ces différentes méthodes. Or, suite à l'étude de mon cours et de quelques recherches sur internet, j'en suis arrivé à la conclusion que l'ordre était intrinsèque à la méthode (et donc ne dépendait pas des équations sur lesquelles on appliquait ces méthodes)

Je voulais donc savoir si le raisonnement précédent était correct ou bien si une subtilité m'avait totalement échappé.

En vous remerciant d'avance

[ShakkaChan]

"Runge-Kutta d'ordre 4" tu le dis toi même en ecrivant ca
en effet l'ordre vient des méthodes et non des équations
apres pour certaine equation il peut toujour avoir des complications mais je pense que l'ordre vient bien de la méthode a chaque fois

[lucienG]

Tout d'abord merci de ta réponse.

Effectivement RK d'ordre 4 laisse penser que l'ordre est intrinsèque à la méthode. Seulement dans les démonstrations que j'ai vu, le calcul de l'ordre (qui découle directement du calcul de l'erreur de troncature globale) fait intervenir, par exemple pour Euler implicite, la dérivée seconde de la fonction f (cette fonction f servant juste à décrire le problème de Cauchy du/dt=f(t,u) et u(0)=u0 sachant qu'on applique nos schémas numériques à la fonction u). J'ai donc du mal à comprendre qu'on puisse s'affranchir totalement des équations régissant le système Lokta-Volterra (même si je comprends bien que le fait qu'on ait un système de deux équations ne pose aucun problème car il suffit de transformer le système en une unique équation matricielle)

Désolé si je n'ai pas été très clair, je peux essayer de l'être plus sur demande

Merci d'avance

[ShakkaChan]

si prend rnuge et kutta comme ecrit ici [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthodes_de_Runge-Kutta]ici[/url] c'est valable pour tout equation de la forme y'=f(x,y)
si on a des derivées seconde il faut utiliser cela differement ( par exemple on se ramene a un système d'ordre 1 et la on applique runge kutta) mais dans tout les cas elle est bien d'ordre 4

sinon le fait qu'on est la derivé seconde qui vient dans le calcul d'ordre ne change rien
imagine que tu est f''(x)*h^4 f''(x) est une constant car borné donc on a une erreur en Ch^4 donc c'est bien d'ordre 4

[lucienG]

Oui effectivement, tu m'as aidé à comprendre. Je me suis donc mis à calculer les différents ordres des méthodes. J'ai réussi à démontrer que Euler progressive et Euler rétrograde étaient d'ordre 1 (en identifiant l'erreur par comparaison du développement de Taylor et de la formule donnée par la méthode) que Crank-Nicolson et Heun (même si pour cette dernière ma démonstration m'a l'air un peu bancale) étaient d'ordre 2 (en faisant apparaître l'erreur comme l'erreur réalisée sur l'aire par l'approximation d'une surface par un trapèze qui est en -(b-a)^3*h^3/12*f''(t)) mais par contre pour RK4 je vois pas du tout car la formule donnée par RK4 est vraiment compliqué et je ne sais pas quelle méthode est la plus efficace.

Voila si quelqu'un a une piste, je suis preneur

Merci d'avance

[ShakkaChan]

c'est vrai que la demo d'ordre de runge kutta n'es pas simple
regarde la si il y a on compte ici je vais chercher de mon coté

[lucienG]

Merci beaucoup ShakkaChan pour toutes tes réponses.

J'ai examiné le document que tu m'as fourni et je dois dire qu'effectivement la démonstration de l'ordre de RK4 me paraît très compliqué. Je pense que je vais laisser celle la en suspens.

En revanche, j'aurai une dernière question :
Il s'agit maintenant pour moi de représenter la fonction solution de ce système par les différentes méthodes numériques. J'ai précédemment démontré que cette fonction (dépendante du temps) était constante. En réalité cette fonction s'écrit H(x(t),y(t)) avec x(t) le nombre de proie et y(t) le nombre de prédateur.
J'ai voulu représenter le portrait de phase de cette fonction grâce au logiciel Scilab et je tombe sur des cercles (fermés ou pas dépendant de la méthode utilisée) et je voulais juste m'assurait que ce résultat était cohérent avec le fait que H soit constante (je ne suis pas très à l'aise avec le principe des portraits de phase)

Merci d'avance

[ShakkaChan]

je me souviens plus ce qu'est un portrait de phase
tu peux me rappeler