Analyse difficile

par **Sylar** » 24 Juin 2007, 21:07

Bonsoir,j'essaie de résoudre cet exo mais a vrai dire j'ai pas vraiment d'idées:

Soit f une fonction non identiquement nulle définie de C dans C, DSE en tout point. On définit A comme l'ensemble des points où s'annule f.

On demande quelle est la nature de A.
DSE=développable en série entière.
Merci...

par **yos** » 24 Juin 2007, 21:51

Sylar a écrit:On demande quelle est la nature de A.

La nature d'un ensemble? Déjà ça veut rien dire.
Il peut être fini ou infini dénombrable.
Si on parle topologie, il est discret.
Tout ça venant du fait que les zéros d'une fonction analytique (non nulle) sont isolés.

par **Sylar** » 24 Juin 2007, 22:02

La nature d'un ensemble? Déjà ça veut rien dire.

C'est exactement l'énoncé d'un oral;j'ai vérifié...
Sinon moi je comprends pas la question.

par **yos** » 24 Juin 2007, 22:06

Ben faut sûrement que tu prouves que A est discret (c'est-à-dire que

est fini). C'est une banalité d'analyse complexe. Maintenant s'il faut le faire avec des outils primitifs de prépa, dis-le, j'essaierai d'y penser.

par **quinto** » 24 Juin 2007, 22:46

Tu peux définir le degré d'un zéro w de f DSE comme étant le nombre n tel que
f^(k)(w)=0 pour tout k<n et tel que f^(n)(w) soit non nul.

A ce moment là c'est très facile de montrer que

où g(w) est non nul et DSE.

Avec ça, tu peux montrer que tes zéros sont isolés.

a+

par **Sylar** » 24 Juin 2007, 22:52

Oui exact yos je suis contraint a le faire avec mes outils primitifs de prépas... :triste:
Au passage ,c'est quoi des zéros isolés?
Et j'ai pas très bien compris d'ou vient la formule ....

par **SimonB** » 24 Juin 2007, 22:56

Un zéro isolé, c'est un zéro tel qu'il existe une distance minimale entre ce zéro et tout autre zéro de la fonction.

par **Sylar** » 24 Juin 2007, 22:59

Ok merci,on a pas vu ca en prépa.

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 00:46

SimonB a écrit:Un zéro isolé, c'est un zéro tel qu'il existe une distance minimale entre ce zéro et tout autre zéro de la fonction.

une distance minimale non nulle...

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 10:55

c'est censé m'aider ?

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 11:02

bah comprendre ce que tu dois montrer oui ca doit pouvoir t'aider...

fais ce que quinto t'as dit

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 11:36

ok ,mais je comprends pas d'ou vient cette formule:

A ce moment là c'est très facile de montrer que
f(z)=(z-w)^n g(z)
où g(w) est non nul et DSE.

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 11:40

ca te fait pas penser aux fonctions polynomiales ?

pour un polynome P si w est racine de multiplicité n, alors P(x)=(x-w)^n*Q(x) ?

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 11:46

Ah oui exact.

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 11:50

enfin il faut encore le démontrer pour les SE

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 11:50

Par contre ,pour les zéros isolés ,j'ai du mal...

par **kazeriahm** » 25 Juin 2007, 11:56

bah si tu as cette formule (qu'il faut démontrer j'insiste), on a Q(w) différent de 0 donc par continuité de Q, il existe un voisinage V de w sur lequel Q ne s'annule pas.

Donc pour tout x dans V, x différent de w, Q(x) est non nul et (x-w) est non nul, donc....

par **Sylar** » 25 Juin 2007, 12:07

Ok merci.....

par **SimonB** » 25 Juin 2007, 12:12

kazeriahm a écrit:une distance minimale non nulle...

Oops, effectivement. :happy2:

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