Intégrale abélienne difficile

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'aimerai connaître la démonstration du calcul de l'intégale suivante:(apparue sur un autre forum et que je juge non résolue vu l' éparpillement des discussions qui s'en est suivi...)

Il s'agit de:

Quel changement de variable peut-on envisager pour la résoudre?

L'élément différentiel est du type: :Existe t'il une méthode particulière pour traiter ce genre d'intégrale?Pour information ma calculatrice fait apparaître du ArcSin dans l'expression de sa primitive...

Merci d'avance pour vos réponses le fouineur

[tize]

As tu essayé avec le changement de variable ?

[tize]

En posant le changement de variable que je t'ai dit et avec une IPP, je trouve :

(sauf erreur de ma part) après il suffirait de linéariser le ...
Il y a peut être plus simple...

[le fouineur]

Bonsoir tize et merci pour ta réponse rapide,

Après m'être servi de ton judicieux changement de variable,j'ai enfin pu "décoller" et démontrer que l'intégrale vaut:I=

Mais contrairement à toi,je n'ai pas eu à utiliser d' I.P.P....
En effet d'après l'intégrale initiale,j' arrive à:

I

Et j'applique ensuite la transformation trigonométique suivante:



Puis j' applique encore une transformation trigonométrique sortie "de derrière les fagots" (et merci à mon ancien prof de physique appliquée au passage...)
Et il vient:


Et il vient par conséquent:

,qui donne bien le résultat escompté...
Mais je serais pourtant curieux de connaitre ta méthode par I.P.P. car ton résultat intermédiaire mentionné dans le message #3 est parfaitement exact et il est préférable de connaître plusieurs méthodes plutôt qu'une seule pour dominer ce genre de problème....Et à propos qu'est qui t'as dans l' énoncé suggéré ce génial changement de variable?Car c'est là oû je coince:il y a souvent plusieurs changements de variable possibles pour une intégrale donnée mais seuls certains peuvent la simplifier....

Encore merci pour ton aide Cordialement le fouineur

[tize]

Tout d'abord, merci pour cette autre méthode que je n'ai pas su voir :marteau:

Petit remarque, quand tu écris : , je pense qu'il y a une petite erreur, en effet après changement de variable, on a : et le sinus étant négatif sur , on a alors ce qui est prévisible puisque I est l'intégrale d'une fonction positive...
En ce qui concerne ma methode dans le post #3 (methode qui je trouve n'est pas aussi bien que la tienne...), voilà comment j'ai opéré :
j'ai fait une IPP avec et donc
et on retombe sur

Ce qui m'a suggéré le changement de variable en question c'est le fait de voir cela m'a fait penser à mais je dois avouer qu'il y a aussi une grosse part de chance...

[yos]

Petit remarque, quand tu écris : , je pense qu'il y a une petite erreur, en effet après changement de variable, on a : et le sinus étant négatif sur , on a alors ce qui est prévisible puisque I est l'intégrale d'une fonction positive...

Mais tu peux prendre pi/2 comme borne inférieure.

[le fouineur]

Mais tu peux prendre pi/2 comme borne inférieure.

Bonsoir à tous,

C'est précisément ce que j'ai fait....Comme je n'ai pas précisé les bornes utilisées dans l'expression de ma primitive,celle-ci n'est pas fausse.
Merci d'être venu à mon secours,yos, car je commençais à douter sérieusement de la validité de mon expression.Une expression peut en effet apparaître comme suspecte quand elle conduit à un résultat manifestement faux,sinon:pour que mon expression soit fausse,il aurait fallu que je fasse au moins deux erreurs de signe successives.

Mais c'est bien de garder l'esprit critique,tize,c'est comme ça qu'on fait avancer les débats....

Cordialement le fouineur

[tize]

Effectivement, avec des bornes différentes c'est tout a fait juste.
Merci de me l'avoir fait remarquer.
Cordialement José

[chnicorau]

Bonsoir à tous,
si vous voulez un peu plus de renseignements sur ce types d'intégrales, que l'on appelle intégrale abélienne, je vous conseille le livre de Lelong-ferrand tome 2 Analyse page 459. Bonnes lectures.

[chnicorau]

La réponse est Pi / 8.

C'est plus simple que ce que l'on peut apercevoir sur les messages précédents. Les mathématiques sont simples et les méthodes que certains génies dans cette matière ont trouvées doivent être utilisées. À quoi ça sert d'avoir trouvé certaines méthodes qui marchent dans tous les cas et ne pas les utiliser ?? Allez bon courage...

[yos]

Tiens! Un vieux fil qui remonte à la surface.
Je songe que est l'aire du demi-disque de centre A(1/2,0) et de rayon 1/2, d'où sa valeur pi/8.

[fahr451]

pour résumer on se ramène après mise sous forme canonique du trinome et changement de variables affine
à sqrt ( 1-t^2) ou sqrt(1+t^2)ou sqrt(t^2 -1) et on pose t = cos u ;
t = shu; t = chu respectivement.