Analyse, calcul d'intégrale

[Etonnai]

Bonsoir, je remercie d'avance toute éventuelle aide apportée.
Je suis actuellement en train de faire des exercices d'Analyse, j'aurais besoin d'aide pour celui-ci :

Soit F: ]-1,1[ -> R la fonction définie par :

F(x) :=

(1) Montrer que pour tout u appartenant à ]-/2;/2[
F(sin(u))=u (Pour cette raison F est la fonction arcsinus)

(2)Déterminer, si elles existent, les limites de F(x) et de F'(x) quand x tend vers + ou - 1

(3) Tracer le graphe de la fonction F C'est trivial je l'ai écrit pour avoir l'énoncé complet mais c'est déjà fait

Je n'arrive pas à voir comment va s'écrire F(sin(u)) je remplace juste x dans la borne de l'intégrale à calculer par sin(u) ?

[Ben314]

Salut,
Si, on pose, par exemple pour tout dans alors,
- Ça vaut combien f(0) ? f(1) ? f(-1/2) ?
- Quelle est l'expression de f(x-1) ? f(x²) ? f(-x) ?
- C'est quoi f(sin(x)) ?

Mêmes questions pour pour tout x dans ]-1,1[.

[Etonnai]

f(0)=1
f(1)=3
f(-1/2)=3/4
f(x-1)=x²-x+1
f(-x)=x-x+1
f(x²)=x^4+x²+1
f(sin(x))=sin²(x)+sin(x)+1

F(sin(x))=
Je dois donc calculer la primitive de ce qui est sous l'intégrale ?

[Ben314]

De déterminer la primitive de la fonction intégrée, ça serait (évidement) une méthode radicale pour résoudre le problème, sauf que la primitive, tu ne la connais pas (et je pense pas que tu puisse la trouver)

Donc il ne faut pas chercher (directement) dans cette voie là, mais utiliser d'autres théorèmes concernant les intégrales. Par exemple, le fait qu'on intègre de t=0 à t=sin(x) incite fortement à....

[Etonnai]

J'ai relu mon cours et je ne vois pas où tu veux en venir, tu peux m'éclairer stp ?

[Ben314]

Par exemple, le fait qu'on intègre de t=0 à t=sin(x) incite fortement à....

faire le changement de variables t=sin(u) pardi !

[Etonnai]

Pourquoi n'y ai-je pas pensé ...
Du coup j'ai obtenu : posons t=sin(u)
J'obtiens l'intégrale de 1/racine(1-sin²(u)))
Je peux utiliser le fait que 1/racine(1-sin²(u))) soit la dérivée de arcsin(u) ?

Pour les limites :
lim de F(x)=-pi/2 quand x->-1
lim de F(x)=pi/2 quand x->1
et
lim de F'(x) n'existe pas quand x->-1 et quand x->1 , car on a une division par 0 , tu valides ?

[Ben314]

Du coup j'ai obtenu : posons t=sin(u)
J'obtiens l'intégrale de 1/racine(1-sin²(u))) <- FAUX (sans parler du fait qu'une intégrale, ça a des bornes)
Je peux utiliser le fait que 1/racine(1-sin²(u))) soit la dérivée de arcsin(u) ? <- Si tu es capable de le démontrer, pourquoi pas... (mais ça donne un tout petit peu l'impression que ce n'est pas la méthode attendue...)

[Etonnai]

J'obtient plus proprement cela c'est exact ?

Ou il faut fait l'inverse est mettre des t partout à la place des sin(x) ?

[Ben314]

Non, c'est (encore plus) faux :
- Déjà, ça me semble on ne peut plus étrange que, après avoir posé , on ait un truc où il y ait encore un/des .
- Ensuite, c'est au moins aussi étrange qu'il n'y ait pas le moindre dans la formule en question.

[Etonnai]

Juste dans mon énoncé papier j'ai sin(u) du coup je me suis embrouillé car sur le forum j'ai posté avec des sin(x)
Donc c'est :
t=sin(u)

C'est bon ?

[lightone]

Etonnai, je suis dans la même classe que toi. En cours, on a fait casi la même chose avec tangente et arctangente...

[Etonnai]

lightone, tu as résolu des exercices du même genre ? Avec la fonction tangente et arctangente, tu as réussi avec arcsinus ?

[lightone]

Ba presque... Mais la méthode je pense que c'est la même. Le prof avait remplacé t par tan(u)

[Etonnai]

Et ensuite tu obtiens le même genre d'intégrale que moi ?
Tu procèdes comment pour résoudre l'intégrale ton aide serait la bienvenue car c'est un exercice que je dois savoir faire ..

[lightone]

Etonnai!!! Je suis dans la même classe que toi!!! J'ai les même exercices à faire que toi, on a le même cours!!! lol. Regarde dans le cours qu'on a eu lundi avant les vacances, le prof l'a fait avec tangente!!

[Etonnai]

Merci pour ta remarque je n'avais pas vue cette partie du cours, je me demande pourquoi. Mais merci

[lightone]

de rien. En plus un coup, j'avais envoyé un mail au prof et il m'avait qu'a chaque fois, ces exos ont un rapport avec une seule partie du cours et que c'était le plus dur à faire et a trouver. Moi je pense que c'est celle là

[Etonnai]

Oui tu as entièrement raison, bon je vais tenter de terminer l'exercice 42, merci à toi en tout cas et bon dimanche.

[lightone]

Moi celui ci je n'a arrive pas... Bon dimanche à toi aussi.