A la suite d'un contrôle continu raté par notre promo de L2Maths, notre prof d'analyse nous a demander de refaire le cc en devoir maison pour lundi.
Après m'y être penché dessus cette semaine avec mes collègues de travail, on a complètement séché sur la fin d'un exercice.
C'est donc la première fois que j'essaye un forum d'aide, vous m'excuserez de la galère pour les énoncé (je ne sais pas taper les symboles de maths)
Exercice 3 :
On pose pour tout x dans R+* et tout t>=0
f(x,t)=ln(1+x²t²)/(1+t²)
(a) Montrer que pour tout x>=0 f(x,t) est équivalent à 2ln(t)/(1+t²) en +infini
(b) En deduire que pour tout x strictement positif, la fonction f(x,t) est intégrable sur [0,+infini[
(c)Montrer que la fonction F : [0,+infini[ dans R définie par F(x)= intégrale de 0 à +infini (f(x,t)dt) est continue sur [0,+infini[
(d)Montrer que pour tout £,r>0 tq £
(e)Montrer que pour tout x appartenant à ]0,1[U]1,+infini[ sa dérivée s'écrit sous la forme :
F'(x) = intégrale de 0 à +infini (h(x,t)dt) avec h(x,t) = (2x/(1-x²))*(1/(1+x²t²)-1/(1+t²))
En déduire une expression simple (sans intégrale) de F'(x) pour tout x appartenant à ]0,1[U]1,+infini[
(f)Que vaut F'(1)? En déduire une expression simple de F(x) pour tout x positif ou nul
Mes pistes :
(a) Très facile, on montre que le quotient tend vers 1 en +infini
(b)On montre que 2ln(t)/(1+t²) est intégrable donc f(x,t) l'est aussi
(c) C'est la que je séche
Je sais quel théorème utilisé mais n'arrive pas à trouver la fonction de domination :
Je dois trouver g(t)de R dans R+ tq quelques soient x et t dans leurs intervalles respectifs :
|f(x,t)|=
De plus il faut qu'elle soit intégrable et j'aurai alors la continuité de F
Le problème est le x², en effet g ne doit pas dépendre de x et comment trouver une fonction majorant f, ie qui crois plus rapidement que ln(1+x²t²) alors que x peut être aussi grand qu'on le souhaite et donc x² encore plus ! Même si par croissance comparée les puissance de t l'emportent sur le logarithme, un logarithme tel avec une multiplication de facteur aussi grand qu'il peuvent l'être ne peut battre une puissance de t, ou comment le démontrer..?
Si vous pouviez me donner quelques pistes sur cette fichue fonction g sur laquelle nous avons passer des heures ! Je suis en plus persuadé que cette question n'est pas difficile que les suivantes le sont mais à force de trop plancher dessus on se rend aveugle à l'évident j'en ai bien peur.. :mur:
Je n'ai pas attaqué les questions suivantes car j'aime faire dans l'ordre mais même après avoir grossièrement cherché, elles ont l'air encore plus dures mais chaque chose en son temps ..!
Merci d'avance