Analyse : Integrale généralisée à Paramètres (L2Maths)

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benwoa
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Analyse : Integrale généralisée à Paramètres (L2Maths)

par benwoa » 11 Avr 2014, 22:05

Bonsoir

A la suite d'un contrôle continu raté par notre promo de L2Maths, notre prof d'analyse nous a demander de refaire le cc en devoir maison pour lundi.
Après m'y être penché dessus cette semaine avec mes collègues de travail, on a complètement séché sur la fin d'un exercice.
C'est donc la première fois que j'essaye un forum d'aide, vous m'excuserez de la galère pour les énoncé (je ne sais pas taper les symboles de maths)

Exercice 3 :

On pose pour tout x dans R+* et tout t>=0
f(x,t)=ln(1+x²t²)/(1+t²)

(a) Montrer que pour tout x>=0 f(x,t) est équivalent à 2ln(t)/(1+t²) en +infini

(b) En deduire que pour tout x strictement positif, la fonction f(x,t) est intégrable sur [0,+infini[

(c)Montrer que la fonction F : [0,+infini[ dans R définie par F(x)= intégrale de 0 à +infini (f(x,t)dt) est continue sur [0,+infini[

(d)Montrer que pour tout £,r>0 tq £
(e)Montrer que pour tout x appartenant à ]0,1[U]1,+infini[ sa dérivée s'écrit sous la forme :
F'(x) = intégrale de 0 à +infini (h(x,t)dt) avec h(x,t) = (2x/(1-x²))*(1/(1+x²t²)-1/(1+t²))
En déduire une expression simple (sans intégrale) de F'(x) pour tout x appartenant à ]0,1[U]1,+infini[

(f)Que vaut F'(1)? En déduire une expression simple de F(x) pour tout x positif ou nul



Mes pistes :


(a) Très facile, on montre que le quotient tend vers 1 en +infini

(b)On montre que 2ln(t)/(1+t²) est intégrable donc f(x,t) l'est aussi

(c) C'est la que je séche
Je sais quel théorème utilisé mais n'arrive pas à trouver la fonction de domination :

Je dois trouver g(t)de R dans R+ tq quelques soient x et t dans leurs intervalles respectifs :
|f(x,t)|=
De plus il faut qu'elle soit intégrable et j'aurai alors la continuité de F

Le problème est le x², en effet g ne doit pas dépendre de x et comment trouver une fonction majorant f, ie qui crois plus rapidement que ln(1+x²t²) alors que x peut être aussi grand qu'on le souhaite et donc x² encore plus ! Même si par croissance comparée les puissance de t l'emportent sur le logarithme, un logarithme tel avec une multiplication de facteur aussi grand qu'il peuvent l'être ne peut battre une puissance de t, ou comment le démontrer..?

Si vous pouviez me donner quelques pistes sur cette fichue fonction g sur laquelle nous avons passer des heures ! Je suis en plus persuadé que cette question n'est pas difficile que les suivantes le sont mais à force de trop plancher dessus on se rend aveugle à l'évident j'en ai bien peur.. :mur:

Je n'ai pas attaqué les questions suivantes car j'aime faire dans l'ordre mais même après avoir grossièrement cherché, elles ont l'air encore plus dures mais chaque chose en son temps ..!

Merci d'avance



Sourire_banane
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par Sourire_banane » 11 Avr 2014, 22:41


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Ben314
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par Ben314 » 11 Avr 2014, 22:43

Salut,


c) une "astuce" (archi classique), c'est de montrer que f est "localement continue" (ce qui équivaut complètement à la continuité normale... :marteau: ).
Plus précisément, trouve un "bon" majorant g(t) de f(x,t) valable pour x dans [0,M] où M est une constante fixée.
Ça te dira que F est continue sur [0,M] et, comme M est arbitraire, tu conclue.

d) Idem, tu majore (c'est du MimeTeX : met toi y) pour x dans un intervalle fixé [m,M] avec 0<m<M.
Ça te "vendra" que F est de classe sur [m,M] et comme m et M sont arbitraires...

e) Simple calcul d'intégrale : décomposition de la fraction en éléments simples puis utilisation du fait qu'une primitive de est .
Attention au cas particulier qu'il faudrait traiter "à part", mais ce n'est pas utile vu qu'il y a une "astuce" (c.f. f))

f) Si tu t'est pas gourré dans le e), bien que les calculs intermédiaires n'ait pas de sens lorsque x=1 (division by zéro error...), le résultat se simplifie miraculeusement et dans la formule finale qu'on obtient pour F'(x), ben on peut prendre x=1. Est-ce un "miracle" ?
Bien sûr que non : on a montré au d) que F était de classe C^1 donc sa dérivées et continue partout, y compris en 1 et donc, par continuité, la formule trouvée au e) qui n'est normalement valable que pour x différent de 1 est encore valable pour x=1 (et ça prouvait qu'on savait, avant même de finir les calculs, que le résultat du e) devait se prolonger par continuité au point x=1)
Y'a plus qu'à primitiver le bidule trouvé au e) (trivial) pour avoir F... à une constante prés...
Et la constante... je te laisse la trouver...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Sourire_banane
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par Sourire_banane » 11 Avr 2014, 22:47

Benpi, on peut majorer |f(x,t)| en considérant x plus petit que 1 d'abord et se débrouiller dans le cas x plus grand que 1 ?

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Ben314
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par Ben314 » 11 Avr 2014, 22:52

Sourire_banane a écrit:Benpi, on peut majorer |f(x,t)| en considérant x plus petit que 1 d'abord et se débrouiller dans le cas x plus grand que 1 ?

Tu peut, mais pour x>=1, je pense qu'il faudra passer par une "limitation" de la taille de x pour conclure.
En plus, ici, il est clair (sans même dériver) que, pour t fixé, la fonction est croissante en x dont tu fixe M>0 et tu dit que, pour x dans [0,M], tu majore f(x,t) par f(M,t) et c'est plié...
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Sourire_banane
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par Sourire_banane » 11 Avr 2014, 22:54

Ben314 a écrit:Tu peut, mais pour x>=1, je pense qu'il faudra passer par une "limitation" de la taille de x pour conclure.
En plus, ici, il est clair (sans même dériver) que, pour t fixé, la fonction est croissante en x dont tu fixe M>0 et tu dit que, pour x dans [0,M], tu majore f(x,t) par f(M,t) et c'est plié...

Oui oui j'y ai pensé mais en général comme j'utilise cette méthode dans le cas d'exponentielles au numérateur je voulais trouver une solution plus technique...

Mais bon je vais pas me passer de l'outil ! Merci

benwoa
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par benwoa » 12 Avr 2014, 13:08

Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses.

La question (c) coule de source du coup..

Du coup pour la question (d) pourquoi s'embêter à majorer la dérivée partielle alors que l'on travaille sur un segment [m,M] ?
J'ai un théorème qui me dit que le fait que la dérivée partielle en x soit continue sur le segment (ici [m,M] ) suffit à me donner F C1 sur le segment en question.. Hors c'est ce qui est demandé il me semble.
Après pour la question suivante le fait d'avoir pris m et M arbitraire me permet de les "pousser" en 0 et .. Est-ce ici que la majoration est du coup nécessaire ? car on sort d'un simple segment ? Mais théoriquement, si c'est vrai pour n'importe quel segment de cet intervalle ouvert, alors cest vrai sur l'intervalle entier non ?

En gros ce que mon donne mon théorème avec juste la continuité et l'existence de c'est :
F'(x)=

est-ce que ceci me permet d'étendre aux bornes 0 et + sur l'intergrale ?
Ou alors là j'ai besoin de majorer ?

Concernant les questions suivantes,

quand je primitive pour simplifier F'(x) je tombe sur 0 (simple demande de confirmation ?)
et du coup la dérivée est nulle en tout point et F(x) serait une constante ?

 

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