Algébriques irrationnels

[alphamethyste]

bonjour

merci d'avance pour toute réponse uniquement positive ou négative à la question suivante :

Existe t-il un théorème stipulant que les entiers naturels non nuls de la fraction continue d'un irrationnel algébrique positif
appartiennent à un sous ensemble fini de l'ensemble des entiers naturels

de sorte que si un tel théorème existe bien alors pour tout irrationnel algébrique positif x on puisse écrire

avec et pour alors avec

question facultative : si oui comment se nomme celui qui l'a démontré ? le théorème de ...???

[Ben314]

Salut,
A ma connaissance, il n'existe pas de tel théorème et... je suis profondément convaincu (à 99.5%... :zen:) que c'est faux.

[alphamethyste]

merci Ben 314

tu peut me croire que si tu est convaincu à ce point (je peux me douter que tu as de bonnes raisons)

à moi de le découvrir (sans que tu me le dise)

encore merci!

[nodjim]

"les entiers naturels non nuls de la fraction continue d'un irrationnel algébrique"
Irrationnel algébrique OK, fraction continue OK, mais à quoi correspondent ces entiers naturels ?

[Doraki]

C'est complètement faux parceque les irrationels algébriques sont denses dans R.

Et puis d'ailleurs pour tout n, n+1/(n+1/(n+1/(n+1/(...)))) est un algébrique irrationnel.

[Ben314]

Les "entiers", c'est ceux qui vont apparaitre dans la fraction continue de x.
Après, ce qui me fait penser que c'est faux, c'est que, quand on manipule les fractions continues, on utilise évidement en permanence des homographies et que le groupe des homographie (muni de la composition) est isomorphe au groupe des matrices 2x2 inversibles.
Or, dés qu'on étudie des matrices, un truc qui revient forcément, c'est la notion de polynôme caractéristique et que, pour les matrices 2x2, ce sont des polynômes de degré 2.
On peut y voir le "pourquoi" il y a un lien entre les fraction continues et les irrationnels quadratique.
Par contre, je ne vois (à priori) aucune raison qu'il y ait le moindre lien entre les fractions continues et les irrationnels quelconques (à part un peu à travers la notion de nombre de Liouville)

[Ben314]

C'est complètement faux parceque les irrationels algébriques sont denses dans R.
Et puis d'ailleurs pour tout n, n+1/(n+1/(n+1/(n+1/(...)))) est un algébrique irrationnel.

Je ne comprend... aucun des deux arguments, mais j'ai l'impression qu'on a pas compris la question de la même façon.

Pour moi, la "conjecture" (à priori fausse...), c'est que, si x est algébrique, alors il existe M dépendant de x tel que les entiers apparaissant dans la fraction continue de x soient tous <=M (ce qui est vrai si x est irrationnel quadratique vu la périodicité des termes de la fraction continue)

[alphamethyste]

bonjour Nodjim

je suppose que tu connais la réponse (mais bon ...)

la suite

pour tout réel strictement positif

la suite une bijection

tel que

avec tel que pour alors

et si alors tel que


pour déterminer la suite

on pose les suites et

par ailleurs on pose les conventions de notation pour x un réel strictement positif on note

sa partie entière

sa partie fractionnaire

on pose et

et pour on pose

[Doraki]

Ah ben oui Ben314, j'ai lu trop vite.

[alphamethyste]

bon je viens de corriger une erreur sur mon dernier post

ormis cela merci aussi Doraki

C'est complètement faux parce que les irrationels algébriques sont denses dans R

je sais que les irrationnels sont isomorphes à l'ensemble des réels et que les irrationnels algebriques et l'ensemble des réels ne sont pas isomorphes

je sais aussi que les irrationnels algebriques sont denses dans l'ensemble des réels

et je commence à comprendre pourquoi cette conjecture là serai fausse

(je ne pensais pas arriver à le comprendre franchement j'étais loin de me douter et tout ça avant 11 heures du matin)

[alphamethyste]

tout bien réfléchit il semble que cette argumentation (de Doraki ) ne soit pas suffisante

ceci dit je suis un nul : pas vraiment compétant pour parler en maths : je suis pataphysicien et en fait pas tout à fait comme Alfred Jarry car je suis rien comparé à lui aussi

pour le dire rapidement si je pose un transcendant quelconque x

et posons que a=[a_1,a_2, ...] avec soit un irrationnel algebrique tel que

a<x avec x=[a_1,a_2, ,a_n,x_{n+1},x_{n+1}...] alors il existera toujours b irrationnel algebrique selon b=[a_1,a_2,...,x_{n+1},b_{n+2}...] tel que a<b<x et tel que

[Ben314]

L'argument de Doraki (i.e. de cardinalité), il marche parfaitement pour montrer que la réciproque de ce que tu affirme est forcément fausse, c'est à dire qu'il existe des nombres transcendants donc les termes de la décomposition en fraction continue sont bornés.
Et ceci pour la simple raison qu'il y a déjà une infinité non dénombrable de fraction continues dont tout les termes sont dans {1,2}] donc il y a forcément des transcendants dans le lot.

Mais pour le sens dont tu parle, à priori, je vois pas d'argument de cardinalité qui permette de conclure.

[alphamethyste]

...ceci dit comme je viens de le dire : je suis un nul : pas vraiment compétant pour parler en maths : je suis pataphysicien et en fait pas tout à fait comme Alfred Jarry car je suis rien comparé à lui aussi

franchement là : j'admire c'est tout ! ... et je me tait!! et vous remercie tous encore

tiens un cadeau pour vous : une pataphore : The Last Dance de Trisomie 21 https://www.youtube.com/watch?v=A3ZVZVMIG7g

ceci dit j'avance car j'adore les maths (mais pas en un jour)

[alphamethyste]

encore un dernier lien pour vous exprimer à quel point ... je pense ce que je viens de dire en vous remerciant tous (non vous savez pas ce que cela représente pour moi vos commentaires)

là moi je suis en train de tourner tout ça dans ma tête comme les deux filles là tournent sur elles même à la façon d'une perforatrice qui grince dans le béton

encore merci merci et ...merci , j'ai refroidit comme la banquise , ça me glace le sang et je ne suis pas un ours polaire Grauzone - Eisbaer https://www.youtube.com/watch?v=HhtxqvAlIpo
comme ils disent l'ours blanc ne doit pas pleurer ...mais les larmes montent aux yeux tellement c'est magnifique les maths

[Ben314]

Il n'empêche que, perso., j'aimerais mieux avoir un VRAI contre-exemple plutôt qu'une PROFONDE CONVICTION (à 99.5%... :zen: )
Sauf que... j'ai pas... :hum: