Algebre systeme de Cramer

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Yozamu
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Algebre systeme de Cramer

par Yozamu » 01 Nov 2012, 14:54

Bonjour à tous.

J'ai un exo d'algèbre dont l'énoncé est:
Soit m un paramètre complexe et le systeme a resoudre dans C^3:
x-my+m²z=2m
mx-m²y+mz=2m
mx+y-m²z=1-m
1) Calculer le déterminant associé à ce système
2) Résoudre ce systeme dans le cas ou ce systeme n'est pas de Cramer
3) Résoudre ce systeme dans le cas ou ce systeme est de Cramer

En cours, la seule chose que j'ai vu sur les systemes de Cramer, c'est que:
"Si r=n=p (r: rang, n: nb equations, p: nb inconnues) alors le systeme admet exactement une solution; le systeme est alors dit de Cramer"

Mais du coup, je ne vois pas du tout comment appliquer ça ici.
Puisqu'on a un systeme unique, qu'il soit un systeme de Cramer ou non, je ne vois pas ce que ça change; je ne vois pas comment calculer, et quelle est l'influence (si le systeme est de Cramer ou non) dans le calcul.

Merci d'avance pour vos explications



XENSECP
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par XENSECP » 01 Nov 2012, 16:31

Tu pourrais déjà écrire le déterminant du système...

Yozamu
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par Yozamu » 01 Nov 2012, 16:40

Un ami a tenté de m'expliquer, je ne sais pas si j'ai bien compris.

Apparemment, le systeme est de Cramer quand le déterminant est égal à 0 ?
Dans ce cas, avec la premiere question, on trouve le déterminant, dans ce cas je ne comprends pas comment on peut traiter les deux cas...

AH, peut etre ais je une idée, a vous de me dire si c'est correcte.
Le déterminant sera surement une expression avec au moins un 'm' dedans. Donc la question est a traiter en considérant que le determinant soit différent de 0, c'est à dire, si le déterminant était égal à m+1 par exemple, qu'on devrait traiter la question pour m différent de -1 et dans la question 3 pour m égal à 1 c'est ça ?

Pour la question quand le determinant n'est pas égal à 0, je vois comment résoudre, mais quand le déterminant est égal à 0, comment fait on pour résoudre le systeme?

XENSECP
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par XENSECP » 01 Nov 2012, 17:15

Oui l'idée est là.

Dans le cas où c'est de Cramer ce sera pour un certain ensemble de valeurs de m et là tu as les formules pour trouver tes solutions (en fonction de m).

Dans le cas où c'est pas de Cramer, tu peux faire plusieurs choses comme la méthode de Gauss :)

Yozamu
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par Yozamu » 01 Nov 2012, 17:26

J'ai plusieurs questions dans ce cas:

1) Finalement, en comparant les explications de mon ami et le cours, je ne vois pas du tout le rapport concernant le fait qu'un systeme soit de Cramer ou non..
Mon cours dit:
"Si r=n=p (r: rang, n: nb equations, p: nb inconnues) alors le systeme admet exactement une solution; le systeme est alors dit de Cramer"
Et mon ami dit:
" le systeme est de Cramer quand le déterminant est égal à 0 "
Cependant si les deux explications sont équivalentes, je ne vois pas en quoi; d'ailleurs la définition de mon cours est celle que je comprends le moins.

2) Quand le systeme n'est pas de Cramer, on peut donc faire plusieurs méthodes c'est ça ? La méthode de Gauss avec les pivots etc et on peut aussi faire la méthode des déterminants ? Avec la formule suivante:
couple solution xo,yo,zo avec xo=det(M1)/det(M) yo=det(M2)/det(M) et zo=det(M3)/det(M) c'est ça ?

3) Cette question découle de la précédente. Dans mon cours, il est dit que "si det(M) est différent de 0, alors le systeme admet un solution dans K^3 le couple (xo,yo,zo)" mais rien n'est expliqué quand le déterminant est égal à 0! Donc je ne sais pas alors s'il y a une méthode spécifique à appliquer( ce que tu as dit: " pour un certain ensemble de valeurs de m et là tu as les formules pour trouver tes solutions (en fonction de m)")

XENSECP
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par XENSECP » 01 Nov 2012, 17:31

Yozamu a écrit:J'ai plusieurs questions dans ce cas:

1) Finalement, en comparant les explications de mon ami et le cours, je ne vois pas du tout le rapport concernant le fait qu'un systeme soit de Cramer ou non..
Mon cours dit:
"Si r=n=p (r: rang, n: nb equations, p: nb inconnues) alors le systeme admet exactement une solution; le systeme est alors dit de Cramer"
Et mon ami dit:
" le systeme est de Cramer quand le déterminant est égal à 0 "
Cependant si les deux explications sont équivalentes, je ne vois pas en quoi; d'ailleurs la définition de mon cours est celle que je comprends le moins.


VRAI tous les 2. C'est juste le théorème du rang. dim(E) = rg(A) + dim(Ker(A)). Dire que le det = 0 c'est dire que le Kernel est réduit à l'ensemble vide donc dim = 0.

2) Quand le systeme n'est pas de Cramer, on peut donc faire plusieurs méthodes c'est ça ? La méthode de Gauss avec les pivots etc et on peut aussi faire la méthode des déterminants ? Avec la formule suivante:
couple solution xo,yo,zo avec xo=det(M1)/det(M) yo=det(M2)/det(M) et zo=det(M3)/det(M) c'est ça ?

Oui oui. La formule de Cramer est plus simple mais il faut quand même se palucher 4 déterminants 3x3.
Le pivot de Gauss est selon moi un peu plus long mais potentiellement plus simple en calculs.

3) Cette question découle de la précédente. Dans mon cours, il est dit que "si det(M) est différent de 0, alors le systeme admet un solution dans K^3 le couple (xo,yo,zo)" mais rien n'est expliqué quand le déterminant est égal à 0! Donc je ne sais pas alors s'il y a une méthode spécifique à appliquer( ce que tu as dit: " pour un certain ensemble de valeurs de m et là tu as les formules pour trouver tes solutions (en fonction de m)")

Non tu as une solution unique quand le det = 0 justement (c'est un système de Cramer).

Quand le det est pas égal à 0 tu appliques le pivot de Gauss ou tu calcules l'inverse de la matrice (mais c'est + simple le pivot ^^).

Yozamu
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par Yozamu » 01 Nov 2012, 17:44

VRAI tous les 2. C'est juste le théorème du rang. dim(E) = rg(A) + dim(Ker(A)). Dire que le det = 0 c'est dire que le Kernel est réduit à l'ensemble vide donc dim = 0.

Ah, peut etre que je ne comprends pas parce que je n'ai pas vu ces termes en cours .?
Je ne sais pas ce qu'un "Kernel".

Dans le cas où c'est de Cramer ce sera pour un certain ensemble de valeurs de m et là tu as les formules pour trouver tes solutions (en fonction de m).


Non tu as une solution unique quand le det = 0 justement (c'est un système de Cramer)

Je ne comprends pas, tu as d'abord parlé de plusieurs solutions("tu as les formules pour trouver tes solutions") et là tu parles d'une solution unique ?

J'ai vraiment du mal avec Cramer là. Pourquoi, quand le déterminant est différent de 0, on peut utiliser une formule pour trouver la solution ou encore utiliser le pivot de Gauss, et, quand le déterminant est égal à 0, ne pourrait on pas utiliser le pivot de Gauss quand meme ? Quand le déterminant est égal à 0, je ne vois pas comment calculer une solution. J'ai meme reussi a m'embrouiller et je ne sais plus quand je dois calculer le determinant ou non..

XENSECP
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par XENSECP » 01 Nov 2012, 18:00

Yozamu a écrit:Ah, peut etre que je ne comprends pas parce que je n'ai pas vu ces termes en cours .?
Je ne sais pas ce qu'un "Kernel".


Comment veux-tu faire de l'algèbre linéaire sans ces notions...?

Je ne comprends pas, tu as d'abord parlé de plusieurs solutions("tu as les formules pour trouver tes solutions") et là tu parles d'une solution unique ?


Quand c'est Cramer tu as une unique solution oui.

J'ai vraiment du mal avec Cramer là. Pourquoi, quand le déterminant est différent de 0, on peut utiliser une formule pour trouver la solution ou encore utiliser le pivot de Gauss, et, quand le déterminant est égal à 0, ne pourrait on pas utiliser le pivot de Gauss quand meme ? Quand le déterminant est égal à 0, je ne vois pas comment calculer une solution. J'ai meme reussi a m'embrouiller et je ne sais plus quand je dois calculer le determinant ou non..


Tu calcules le det :
- si 0 alors Cramer => formules
- si pas 0 alors pivot de Gauss

Yozamu
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par Yozamu » 01 Nov 2012, 18:12

Comment veux-tu faire de l'algèbre linéaire sans ces notions...?

Eh bien, je ne sais pas, mais je vais surement voir ces notions plus loin dans le cours, dans pas trop longtemps je suppose si c'est important comme notions.

Quand c'est Cramer tu as une unique solution oui.

Si le déterminant est égal à 0 pour plusieurs valeurs de m, alors on aura quand meme une seule solution?

Tu calcules le det :
- si 0 alors Cramer => formules
- si pas 0 alors pivot de Gauss

D'accord. Mais donc si on peut toujours utiliser le pivot de Gauss quand le déterminant est égal a 0, alors la formule avec les déterminants pour trouver la solution est pas très utile du coup ?
Et si le déterminant est égal à 0 justement, quelles sont ces formules qui permettent de trouver la solution?

 

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