Algebre: Q, partie de P(E)

[Yozamu]

Bonjour.

J'ai un problème sur un exercice. J'ai pourtant relu la leçon, mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider à résoudre mon exercice...
L'énoncé est le suivant: (par ailleurs, je ne sais pas comment utiliser les symboles tels que "pour tout x" sur ce site, donc je vais écrire en toutes lettres dans l'énoncé)

Soit E un ensemble. On nomme Q, une partie non vide P(E) telle que:
(1) Pour tout A, (A appartient à Q) => (Partiecomplémentaire(A) appartient à Q)
(2) Pour tout A, Pour tout B, ((A appartient à Q) et (B appartient à Q)) => ((A u B) appartient à Q)

Les questions sont les suivantes:
1. Montrer que E et ensemble vide appartiennent à Q.
2. Montrer que: pour tout A, pour tout B, ((A appartient à Q) et (B appartient à Q)) => ((A n B) appartient à Q)

Deja pour les deux questions, je ne sais pas si on est censé faire un calcul, ou utiliser des symboles, ou simplement écrire une phrase complètement sans calcul pour justifier...

Merci d'avance.

[Luc]

Bonjour.

J'ai un problème sur un exercice. J'ai pourtant relu la leçon, mais je n'ai rien trouvé qui puisse m'aider à résoudre mon exercice...
L'énoncé est le suivant: (par ailleurs, je ne sais pas comment utiliser les symboles tels que "pour tout x" sur ce site, donc je vais écrire en toutes lettres dans l'énoncé)

Soit E un ensemble. On nomme Q, une partie non vide P(E) telle que:
(1) Pour tout A, (A appartient à Q) => (Partiecomplémentaire(A) appartient à Q)
(2) Pour tout A, Pour tout B, ((A appartient à Q) et (B appartient à Q)) => ((A u B) appartient à Q)

Les questions sont les suivantes:
1. Montrer que E et ensemble vide appartiennent à Q.
2. Montrer que: pour tout A, pour tout B, ((A appartient à Q) et (B appartient à Q)) => ((A n B) appartient à Q)

Deja pour les deux questions, je ne sais pas si on est censé faire un calcul, ou utiliser des symboles, ou simplement écrire une phrase complètement sans calcul pour justifier...

Merci d'avance.

Bonjour,

remarque que Q est une partie de P(E). Ses éléments sont donc des parties de E. On est ici a un niveau d'abstraction supérieur au niveau habituel puisque Q est donc un élément de P(P(E))!.
Pour répondre aux questions, il faut utiliser un mélange de français et de symbole mathématiques.

Pour la première question, il te suffit de montrer que E appartient a Q, puisque la deuxième partie de la question s'en déduit grâce a la propriété 1). Pour cela, tu ne peux faire qu'une seule chose pour commencer: prendre un élément de Q (puisque Q est non vide). A toi d'utiliser ensuite les propriétés de Q pour montrer que E appartient a Q.

Pour la deuxième question, il est utile de faire un dessin. Il faut réécrire l'intersection de deux ensembles en utilisant seulement les opérations d'union et de passage au complémentaire (pense au complémentaire de A n B).

PS : Un tel ensemble de parties Q s'appelle une tribu ou sigma-algèbre. Cette notion est a la base de la théorie des probabilités. E s’interprète alors comme "l'univers des possibles" et les parties de E comme les événements. Tu peux voir en exercice comment s’interprète le complémentaire d'une partie, l'union et l'intersection de parties en termes d’événements.

[Yozamu]

puisque la deuxième partie de la question s'en déduit grâce a la propriété 1

Je ne vois pas ce qui me permet de déduire que l'ensemble vide appartient à Q

prendre un élément de Q (puisque Q est non vide). A toi d'utiliser ensuite les propriétés de Q pour montrer que E appartient a Q.

C'est à dire? Prendre un élément de Q, je vois pas vraiment ce que je peux prendre; n'importe quel nombre? Et puis je n'arrive vraiment à rien avec les propriétés de Q...

Il faut réécrire l'intersection de deux ensembles en utilisant seulement les opérations d'union et de passage au complémentaire (pense au complémentaire de A n B).

Opération de passage au complémentaire et d'union? Je ne les connais pas... A vrai dire, je connais quasiment aucune formule, c'est le début de cette partie du cours, donc je suis perdu.