Algèbre : Z/nZ (morphisme - L1)

[Anonyme]

Bonsoir, voici l'énoncé qui me pose problème :
Soient p et q deux nombres naturels premiers. Notons Z/pZ par Zp.
Montrer qu'il existe un morphisme unitaire d'anneaux f : Zp[X]->Zq[X] si et seulement si p=q.


Seulement je n'ai jamais vu d'exo de la sorte, et c'est la premiere fois que j'entend le mot "morphisme".

Je cherche de l'aide pour bien comprendre l'énoncé, et réussir une rédaction adéquate, merci beaucoup.

[Ben314]

Salut,
Un "morphisme", c'est une application (une fonction si tu préfère) qui "conserve les structure".

Par exemple, si K est un corps, K[X] est un anneau unitaire, ce qui signifie qu'il est muni de deux opérations + et x et qu'il admet un élément neutre 1 pour la multiplication (c'est le mot "unitaire" qui dit ça).

Un "morphisme d'anneau unitaire" c'est donc une application d'un anneau unitaire A dans un autre B telle que :
f(a+a')=f(a)+f(a') pour tout a,a' de A
f(axa')=f(a)xf(a') pour tout a,a' de A
f(1)=1 (où le 1 de gauche est celui de A et celui de droite est celui de B)

[Anonyme]

Bonjour, merci de ta réponse, cette rédaction répond-elle a la question :
Je noterai 1p et 0p (1q et 0q) les élément neutres pour la multiplication et l'addition dans Zp (Zq)

Soit f un morphisme unitaire de Zp vers Zq,
on a nécessairement f(a.b)=f(a)*f(b) et f(1p)=1q <=> f(k*1p)=k[p]*1q=k[p]
Supposons p=/=q
Tout d'abord pOn a pour tout k appartenant a Zp f(k)=k modulo p, cequi est strictement inférieur à p-1, donc à q-1.
Absurde, puisque nécessairement il existe f(k.1p)=q-1[p], ce qui est impossible. Donc p n'est pas inférieur a q.
Supposons p>q
p n'est pas divisible par q vu qu'il est premier.
On note r le reste de la division euclidienne de p par q (r>0), k le quotient.
f(p.1p)=f((qk+r).1p)=f(0p)=0q
Comme on a f(q.1p)=q[p].1q=0q, alors f(p.1p)=f(r.1p)=0q=r[p].1q.
Ceci est impossible vu que 0Donc on a nécéssairement p=q si ce morphisme existe.

Enfin pour démontrer l'implication dans l'autre sens :
Si p=q
Prenons f(x)=x comme morphisme
f(a+b)=a[p]+b[p]=a[q]+b[q]=f(a)+f(b) (car p=q)
f(a*b)=a[p]*b[p]=a[q]*b[q]=f(a)*f(b) (car p=q)
Et enfin f(1p)=1p=1q
On a donc l'implication dans les deux sens, donc il existe un morphisme unitaire si et seulement si p=q.

Je ne suis pas vraiment sûr pour les modulo, c'est très nouveau pour moi ce genre d'écriture, merci de votre aide !

[Ben314]

Ca me parrait tout ce qu'il y a de plus correct.
A la limite, dans la première partie, il n'est pas totalement utile de distinguer les cas p>q et q>p : si tu écrit que
0 = f(0) = f(p.1) [où p.1 = 1+1+...+1 = 0 dans Fp]
= p.f(1) = p.1 [cette fois c'est dans Fq]
or, dans Fq on a n.1=0 si et seulement si q divise n donc on en déduit que q divise p et, comme p et q sont premiers, cela implique que q=p.

[Anonyme]

Ah oui tout juste^^ j'étais tellement convaincu que je devrais passer par l'absurde de par la forme de la question que je n'ai pas pensé a faire une relation directe !
Merci beaucoup de ton aide, bonne soirée =)