Algèbre linéaire - bidual

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Bonjour à tous,

Je m'intéresse au bidual avec tous les noeuds au cerveau que ça peut provoquer, que j'essaie de déméler. Cependant je suis tombé sur un os.

Je suppose que E est un K-espace vectoriel de dimension n, que sont deux bases de E.

J'ai réussi à montrer après beaucoup d'efforts que pour toute application linéaire u, .

En effet, par définition, , on conclut par linéarité.

Supposons maintenant, pour fixer les idées, que E est de dimension 2.

Je cherche à montrer que si alors

Une idée ?

Je pense qu'il suffit de montrer que

[Ben314]

Salut,

Je cherche à montrer que si alors

J'ai pas trop regardé le reste, mais là, ça ressemble plus que beaucoup à LA erreur archi. classique (lié à la notation avec une *) : quand tu as une base alors tu as effectivement une base duale qu'on note , mais il faut bien être conscient que, par exemple, n'a de sens que dans le cadre où tu t'es donné la base tout entière.

Exemple :
Soit alors
Soit :alors
(à bien noter dans cet exemple que, si par hasard le vecteur (1,0) de la deuxième base je le note de nouveau , ben je vais ensuite écrire des grosses conneries vu que j'aurais deux formes linéaires différentes toute les deux notées !!!!)

Bref, si tu dit pas qui c'est le qui complète ton pour faire une base alors la notation est dénuée de sens.
Dit autrement, ta deuxième relation va être vrai ou pas en fonction du vecteur choisi qui, non seulement détermine , mais il est aussi nécessaire pour détermine .

[Ben314]

Pour reprendre ton truc,
Mettons que et avec pour que ce soit une base.
Alors, pour tout , on a

Comme est une base, on en déduit que
Et, comme cette relation est vraie pour tout , c'est qu'on a

Bon, là, je te l'ai fait "complètement à la main", histoire de bien montrer qu'il y a "zéro truc compliqué" derrière, mais c'est pas con de savoir écrire la même chose en terme de matrices de passage (où la transposées apparaît naturellement).
Et quand on a compris cette histoire de transposé, ben de nouveau tout est limpide : pour connaitre entièrement la k-ième colonnes de la transposée de P (donc pour connaître ), c'est bien clair qu'il faut au départ toutes les colonnes de P et y pas uniquement la k-ième (c'est à dire pas uniquement ).
Et je le redit une dernière fois : c'est les notation qui sont "pas géniales" (mais j'ai rien de mieux à proposer...)

EDIT : Et sinon, le truc qui semble (si on réfléchi pas trop) super étonnant concernant le bidual, c'est que pour savoir "qui est" , c'est pas la peine de connaitre les autres élément de la base (mais si on réfléchis 15 seconde en se disant que, partant de P, on a pris deux fois la transposé, là, déjà, on comprend mieux...)

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Je me suis trompé en effet, il fallait transposer.

Ce que je peux montrer c'est que si



alors



En fait, cela se montre aussi comme ceci :





La notation ne me dérange pas, il suffit de comprendre que c'est la base duale. est le dual de .
n'est pas le dual de .

Encore merci Ben, c'est quand même incroyable, chaque fois que tu réponds c'est comme si livre que je cherchais s'écrivait sous mes yeux.

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J'ai une autre question, dans la continuité des précédentes : l'isomorphisme entre et est mis en évidence par l'application définie par :



On montre que est bien définie, que c'est une application linéaire, qu'elle est injective, ce qui fait qu'en dimension finie, elle est bijective.

Mais quelle est alors sa bijection réciproque ?

Elle doit vérifier :
(i)
(ii) , soit
(ii)

J'ai bien une idée :

donc (i) est vérifiée



Il faudrait que j'arrive prouver que

Je pense que c'est impossible, qu'il y a une barrière théorique : en dimension infinie n'existe pas, donc elle ne peut pas avoir une expression aussi simple.


Alors, que peut-on dire de ? Mon idée est-elle juste en dimension finie ? Est-elle fausse tout court ?

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Concernant la bijection réciproque, je sais pas trop quoi écrire, mais par contre ça :

J'ai bien une idée :

ça a pas de sens : c'est une application de E->E donc c'est pas un élément du dual E' vu que ce dernier c'est l'ensemble des application de E->K (sauf si E=K...).
Perso., je vois rien de plus explicite que le de la définition qui te dit que , c'est très exactement l'ensemble des application où décrit .
Et à mon sens, sur le principe, c'est la même chose que dans le cas des espaces Euclidiens où tu sait que , c'est très exactement l'ensemble des application (produit scalaire) où décrit .
Et là, ben c'est pareil, je crois pas qu'on puisse exprimer l'application autrement qu'en écrivant bêtement

De toute façon, dans les exo "théorique", c'est plus que suffisant de savoir que les éléments de c'est les (et que dans le cas Euclidien, ceux de , c'est les ) et dans les exercices "pratiques", ben comme tout ça on le visualise à coup de matrices, (dans une b.o.n. pour le cas Euclidien), tout devient trivial vu que la dualité, c'est la transposition des matrices.

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J'ai encore écrit une bêtise plus grosse que moi

J'ai cherché dans une autre direction. Toujours la même question : on me donne , je sais qu'il existe un unique tel que . Quel est-il ?

Je suis capable, pour un donné, de calculer : c'est . C'est largement suffisant pour retrouver x.

Si est une base de E alors .

Ainsi,

Et donc

Pour clarifier fixer les idées, donc est entièrement définie par pour .

Au passage, (il fallait bien toucher le tridual à un moment donné )

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On peur aller encore un tout petit peu plus loin avec la notion d'annulateur :



Avec cette notation, on devrait avoir :


Pourtant la convention veut que


Si je pose, pour les différentier :



On voit assez vite que .

On peut totalement, au moins dans ce contexte, identifier et .

[Ben314]

On peut totalement, au moins dans ce contexte, identifier et .

En dimension finie, oui, c'est exactement la même chose.
Sinon, concernant tes (que j'aurais tendance à écrire sans me faire c...), si tu veut ce qui me semble être "le bon" point de vue lorsque tu manipule tout ces trucs, c'est (comme toujours) d'essayer de généraliser.
Dans tout les cas, ce que tu as, c'est deux K-e.v. F et G et une forme bilinéaire f:FxG dans K :
- Pour les espaces euclidien, F=G=E, et f(x,y)=<x|y>
- Pour le dual classique, F=E, G=E* et f(x,y)=y(x)
Et dans ce contexte, "l'orthogonal" d'une partie A de F, c'est l'ensemble des y de G tels que f(x,y)=0 pour tout x de A (et vice versa : "l'orthogonal" d'une partie B de G, c'est l'ensemble des x de F tels que f(x,y)=0 pour tout y de B)
Et concernant E*, lorsque tu parle de "dualité", ben y'en a évidement deux de naturelles : celle entre E et E* et aussi celle entre E* et E** donc si tu parle de "l'orthogonal" d'une partie B de E*, faut évidement préciser pour laquelle des deux dualités.

Et avec ce point de vue, la donnée d'une forme bilinéaire f:FxG dans K, c'est la même chose qu'une application linéaire de G dans le dual F* de F. Par exemple, pour la dualité "classique" F=E ; G=E* tu prend bêtement l'identité de G=E* dans F*=E*. Sauf que, cette même forme bilinéaire f:FxG dans K, tu peut aussi la voire comme une application linéaire de F dans le dual G* de G et dans le cas de la dualité "classique" F=E ; G=E*, c'est cette fameuse application linéaire de F=E dans G*=E**.

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Merci Ben. C'est très clair, une fois de plus.

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Bonjour ! Je continue ma lecture du Griffone, et j'ai encore des questions !

E est un sous-espace vectoriel de F. Je dois montrer que . Je vais essayer de suivre tes conseils et de généraliser.

Lemme 1 : Soient et deux espaces vectoriels sur K de dimensions finies,
et soit l'application bilinéaire .
Soit un sous-espace vectoriel de E.
alors :

Preuve du lemme 1 : Soit ,

Soit . C'est un sous espace vectoriel de .

Alors

Comme F est de dimension finie,
Ainsi, (1)

On considère maintenant
Le théorème du rang dit que
. Or,



Ainsi,






fin de la preuve du lemme 1.

Lemme 2 : On suppose de plus que E et F ont la même dimension et que b est non dégénérée.

Preuve du lemme 2 : Il est facile de montrer que dans tous les cas
(Même si E et F sont de dimension infinie et que b est dégénerée).

Comme b est non dégénerée, . Ainsi,




Donc, comme ,
et comme , on conclue :

Application : E est un sous-espace vectoriel de F. .

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Je continue. Je ne sais pas si je suis lu mais tant pis, c'est aussi une sorte d'aide-mémoire

Si est un -espace vectoriel et est une forme bilinéaire sur E, b a deux noyaux :




Si F est un sous-espace vectoriel de E, F a deux orthogonaux :




La formule sur les dimensions deviens alors :




Si b est symétrique :


Si b est symétrique et non degénerée :




Ca a l'air de rien tout ça mais j'ai pas mal galéré pour tout clarifier. D'autant que mon prof l'a très mal à fait à mon avis :

- il s'est placé dans le cas où b est sesquilinéaire, ce qui fait que est sigma-semi-linéaire (mais ça ne l'empêche pas d'utiliser des résultats d'algèbre linéaire, comme le théorème du rang, ce qui m'a beaucoup perturbé (voir ce fil : superieur/forme-sigma-sesquilineaire-t190363.html)

- il s'est placé dans le cas où E=F (alors que différentier les deux espace de départ rend les choses beaucoup plus claires)

- il a démontré la formule dans le cas dégénéré en utilisant le fait que dim E = dim F (l'injectivité de la rend bijective). Ce qui ne se généralise pas.

- il s'est ramené au cas non dégénéré en quotientant par et par , ce qui me parait très est inutilement compliqué

En fait je pense qu'il a fait sa démonstration complètement à l'arrache (il n'avais pas prévu de quotienter, il a essayé de faire autrement mais n'a pas réussi). Comme il est très fort, il s'en est sorti et sa démonstration est certainement juste, mais elle se généralise mal (elle utilise tout le temps le fait que E=F) et fait du hors-piste (utiliser des théorèmes d'algèbre linéaire sur des forme sigma-semi-linéaires).

Bref, je suis bien content d'avoir une démonstration plus élémentaire.