Algèbre élémentaire élément irréductible

[Anonyme]

Bonjour je bloque sur la partie 4 du problème suivant. Ce problème semble souvent donné car il permet de mettre en évidence un monoïde commutatif régulier mais non factoriel ce qui fait qu'on peut avoir des éléments irréductibles qui ne sont pas premiers.


Soit M = {x + i*racine de 5* y ; avec x élément de Z, y élément de Z}
et M* = {z élément de M tel que il existe z' élément de M tel que z*z' = 1}

1) Prouver que M*={1;-1}
2) prouver que 2, 3, 1 + i*racine de 5, 1 - i*racine de 5 sont des éléments irréductibles de M
3) Prouver que aucun des éléments 2, 3, 1 + i*racine de 5, 1 - i*racine de 5 n'est premier.

Et la fameuse partie 4) prouver que tout élément non inversible de M est le produit d'un nombre fini d'éléments irréductibles (penser par récurrence sur (module z)².

En particulier je ne comprends pas la nature de cette démo par récurrence que le prof propose.

MErci de votre aide

[yos]

C'est la même démo que pour le théorème fondamental de l'arithmétique sauf qu'ici on ne prouve pas l'unicité de la décomposition (l'unicité n'a pas lieu d'après la question 3 puisque 2*3=(1+i*rac de 5)(1-i*rac de 5).

a) 2 est le seul élément de M -M*de module minimum (à un inversible près) et 2 est irréductible, donc la propriété est vraie pour lui.

b) On suppose que tous les éléments de M ayant un module au carré ou= 2. Le module est multiplicatif donc les modules au carré de y et z sont

[yos]

Il est clair que les modules au carré des éléments de M sont des entiers naturels. C'est même pour ça qu'on les prend au carré. Sinon pas de réc. possible

[Anonyme]

Merci beaucoup,

J'avais trouvé 2 premier élément irréductible mais je n'avais pas compris la "logique" de la récurrence i.e. que la récurrence sur module Z au carré signifiait récurrence à partir de l'entier n en passant à l'entier n+1.

Merci encore

Lol