Aide pour demonstration

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 10:20

Bonjour,

en fait je voudrais montrer que si un entier n admet un élément d'ordre n-1, alors n est un nombre premier.

J'ai commencé en ecrivant :

et que ce theoreme n'est vrai que si n est premier.
Mais je pense que le but de l'exo est de montrer que cette prop est vraie donc je n'ai aucune piste.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci.

par **Nightmare** » 02 Sep 2008, 10:41

Bonjour,

c'est faux, on prend a=2 et n=4.

par **busard_des_roseaux** » 02 Sep 2008, 10:42

re,

içi

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 10:42

Nightmare a écrit:Bonjour,

c'est faux, on prend a=2 et n=4.

j'ai pas compris ce qui est faux ???

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 10:50

busard_des_roseaux a écrit:re,

içi

Merci pour ton lien, j'ai lu l'article mais j'ai pas trop vu le rapport avec mon exo.

Pourrais tu me dire quoi lire au juste alors ???

par **Nightmare** » 02 Sep 2008, 10:52

En gros il existe des contre exemples donc tu cherches à démontrer quelque chose qui est faux.

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 11:00

Nightmare a écrit:En gros il existe des contre exemples donc tu cherches à démontrer quelque chose qui est faux.

Je t'assure que c'est bien mon exo, je t'ecris l'enoncé en entier.

soient a, m ,n des entiers tels que

,

et

.
a est dit d'ordre m modulo n si

et si k est un entier strictement positif tel que

alors m divise k.

(En fait d'apres le cours, si m est l'ordre d'un element modulo n alors m divise

)

Montrer que si un entier n admet un element d'ordre n-1 alors n est un nombre premier.

par **Imod** » 02 Sep 2008, 12:02

En fait ça revient à montrer que

est premier .

Ce n'est pas trop difficile vues les propriétés de

.

Imod

par **leon1789** » 02 Sep 2008, 12:59

Pas la peine (bien que cela soit intéressant) de passer par l'indicateur d'Euler :

Soit a d'ordre multiplicatif n-1 dans Z/nZ

Montrer que a est inversible modulo n ? (évident)
Quel est le cardinal du groupe multiplicatif G engendré par a ? (évident)
Quels sont les éléments de Z/nZ qui ne sont pas dans G ? (facile)
Conclure que Z/nZ est un corps et que n est premier (facile)

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 14:17

leon1789 a écrit:Pas la peine (bien que cela soit intéressant) de passer par l'indicateur d'Euler :

Soit a d'ordre multiplicatif n-1 dans Z/nZ

1) Montrer que a est inversible modulo n ? (évident)
2) Quel est le cardinal du groupe multiplicatif G engendré par a ? (évident)
3) Quels sont les éléments de Z/nZ qui ne sont pas dans G ? (facile)
4) Conclure que Z/nZ est un corps et que n est premier (facile)

Merci pour ta reponse.

il faut montrer tout les points cités (1, 2, 3 et 4) ?

par **leon1789** » 02 Sep 2008, 15:14

juve1897 a écrit:Merci pour ta reponse.
il faut montrer tout les points cités (1, 2, 3 et 4) ?

oui, il faut que tu les justifies : une ligne suffit à chaque fois.

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 15:26

leon1789 a écrit:oui, il faut que tu les justifies : une ligne suffit à chaque fois.

Ben pour 1) et 2) la reponse c'est (n-1) trivial comme tu dis :happy2:

Pour le 3) et 4) je vois pas pour le moment :cry:

EDIT: Pour la 4) en fait une fois que l'on a montrer que c'est un corp on peut dire que c'est un anneau intègre donc n est premier

par **leon1789** » 02 Sep 2008, 16:15

juve1897 a écrit:Ben pour 1) et 2) la reponse c'est (n-1) trivial comme tu dis :happy2:

Pour le 3) et 4) je vois pas pour le moment

Il y a combien d'éléments dans Z/nZ ? Combien dans G ? D'où vient la différence ?

juve1897 a écrit:EDIT: Pour la 4) en fait une fois que l'on a montrer que c'est un corp on peut dire que c'est un anneau intègre donc n est premier

ok

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 16:23

leon1789 a écrit:Il y a combien d'éléments dans Z/nZ ? Combien dans G ? D'où vient la différence ?

ok

Ben dans Z/nZ il y en a n si je ne m'abuse {0, 1 ... n-1} et dans G je vois pas car je sais pas ce que G represente :euh:

par **leon1789** » 02 Sep 2008, 17:39

juve1897 a écrit:Ben dans Z/nZ il y en a n si je ne m'abuse {0, 1 ... n-1} et dans G je vois pas car je sais pas ce que G represente :euh:

G = le groupe multiplicatif engendré par a (avec a d'ordre n-1)
G = ensemble des puissances de a,
G est de cardinal n-1, comme tu as dit au-dessus.

Or a est inversible donc toutes les puissances de a sont aussi inversibles dans Z/nZ...
Maintenant tu en penses quoi de G dans Z/nZ ?

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 17:55

leon1789 a écrit:G = le groupe multiplicatif engendré par a (avec a d'ordre n-1)
G = ensemble des puissances de a,
G est de cardinal n-1, comme tu as dit au-dessus.

Or a est inversible donc toutes les puissances de a sont aussi inversibles dans Z/nZ...
Maintenant tu en penses quoi de G dans Z/nZ ?

tu vas encore me :marteau:
Mais je vois pas comment tu trouves que a est inversible ???

en supposant que a et ses puissances sont inversible, je pense que si tous les éléments d'un groupe ont un inverse alors ce groupe est un corp.
On sait que les corp sont des anneau integre donc a est premier.

Voila.

par **Doraki** » 02 Sep 2008, 17:59

regarde si l'inverse de a ça serait pas a^(n-2)

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 18:04

Doraki a écrit:regarde si l'inverse de a ça serait pas a^(n-2)

Mais comment donc savez vous ça ???

par **leon1789** » 02 Sep 2008, 18:15

juve1897 a écrit:Mais comment donc savez vous ça ???

ton hypothèse, c'est

par **juve1897** » 02 Sep 2008, 18:25

leon1789 a écrit:ton hypothèse, c'est

Ahhhhhhhhhhhh :king2:
car

or a *

=

Mais fallait le voir ce petit truc.
Donc on fait pareil pour les autre

*

c'est genre symetrique.

Donc on a bien tout les elements de G qui sont inversible, donc G est un anneau integre. donc n est premier.

C'est tout ???

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