Q n'admet pas de borne supérieur

[StupideMoi]

Salut à tous :lol3:!!
Je suis en train de comprendre la solution de l'exercice suivant:
Montrer que l'ensemble X = { x;);) : x²<2 } n'admet pas de borne supérieur dans ;).
Voici la solution:
On a X = { x;);) : -V2 < x < V2 }
Il est clair que ;)x;)X, ;)y;)Y, on a x;)y. Montrons que c;)X et c;)Y. Supposons que c;)X, c'est à dire c...

Mes questions sont:
1. Pourquoi il faut considérer un autre ensemble Y, n'est-il pas suffisant d'utiliser un seul ensemble X?
2. Comment sommes-nous arrivés à 1/n < (2-c²)/(2c+1) (je sais que c'est avec la méthode de Héron mais comment)?
3. Pouvons-nous simplement prouver que V2;);), alors l'ensemble X n'admet pas de borne supérieur dans ;)?

S'il vous plaît aidez-moi, je ne sais pas quoi faire :triste:!!
Merci beaucoup pour votre temps :we:!!

[eratos]

3. Pouvons-nous simplement prouver que V2;);), alors l'ensemble X n'admet pas de borne supérieur dans ?

S'il vous plaît aidez-moi, je ne sais pas quoi faire :triste:!!
Merci beaucoup pour votre temps :we:!!

si V2 est dans Q, il existe p,q dans N et Z* tel que p/q=V2 avec p et q premier entre eux (sinon on peut réduire la fraction).
On a en élevant au carré, p²=2q². p² est pair donc p aussi(tu le prouve simplement avec la contre apposée). Donc il existe k dans Z tel que (2k)² =4k² =2q² càd 2k²=q². Donc que q est pair . Ce qui contredit que le pgcd de p et q vaut 1. Autrement dit tels p et q n'existent pas :lol3:

[StupideMoi]

On a en élevant au carré, p²=2q². p² est pair donc p aussi(tu le prouve simplement avec la contre apposée). Donc il existe k dans Z tel que (2k)² =4k² =2q² càd 2k²=q². Donc que q est pair . Ce qui contredit que le pgcd de p et q vaut 1. Autrement dit tels p et q n'existent pas :lol3:

OK, merci beaucoup pour votre réponse :lol3:!!
Les choses vont mieux quand ils sont simples :we:!!!

[mathelot]

bonjour,


on montre que

n'a pas de plus petit élément
si


dès lors que


Les majorants de A n'appartiennent pas à A.
sup(A) n'appartient pas à A
Les éléments de B ne sont pas "sup(A)" car B n'a pas de plus petit élement.
sup(A) n'appartient pas à B car est strictement croissante sur R+*
les élements de B majorent A sans être "sup(A)".
sup(A) n'existe pas (ni dans A, ni dans B).

(A,B) est une coupure (au sens de Dedekind) de