Adhérence

[kaya]

salut à tous!
je semble ici avoir une petite difficulté de je sais quoi:
en j'ai pu assister à deux différents cours portant tous les deux sur l'introduction à la topologie et on a parlé de notion de ADHERENCE dont voici les 2 définitions:
soit A une partie de E espace vectoriel normé,
(1) plus petit fermé contenant A. ici un fermé est le complémentaire d'un ouvert O (O qui est défini tel que: O contient une boule ouverte B(x,r) avec x dans O.)
(2) {x de E/pr tout eps>0, B(x,eps)-inter-A#vide}
je ne nie pas les 2 définitions mais je ne trouve vraiment pas l'équivalence entre les (1) et (2). si quelqu'un pourrait expliquer...svp
A+

[yos]

A=[a,b[ dans R. Vérifie l'équivalence sur cet exemple.

1) Le plus petit fermé contenant A est [a,b].

2) Si x est dans [a,b], une boule centrée en x va bien sûr rencontrer [a,b[. Mais si x n'est pas dans [a,b], tu peux trouver une boule centrée en x ne rencontrant pas [a,b[.

Ces deux définitions signifient que l'adhérence de E est constituée des éléments de E et de ceux qui sont "à la frontière" de E

[abcd22]

Avec les deux définitions, le complémentaire de l'adhérence est défini comme :
1) le plus grand ouvert ne rencontrant pas A;
2) l'ensemble des x tels que .
Ce n'est pas très dur de prouver l'égalité entre ces deux ensembles.