Adherence

[barbu23]

Bonsoir à tous,
Soit un espace métrique.
Soit .
Montrer que : :
Merci d'avance. :happy3:

[Anonyme]

La difficulté est de démontrer que
===> : ??

et donc....

[DamX]

Bonsoir à tous,
Soit un espace métrique.
Soit .
Montrer que : :
Merci d'avance. :happy3:

je ne comprends pas bien où est le problème.

si , alors tout tout voisinage de x est d'intersection non nulle avec A, et donc x est point d'adhérence de A, i.e. est dans par définition.

et réciproquement si x est dans l'adhérence, pour toute boule de rayon 1/n il existe un y_n dans la boule et dans A. On a et donc d(x,A) = 0.

[Anonyme]

Que veut dire pour toi ?
Il n'y aurait-il pas une histoire de frontière ?

[DamX]

Que veut dire pour toi ?
Il n'y aurait-il pas une histoire de frontière ?

je ne comprends pas où tu veux en venir avec ta frontière.

[barbu23]

Oui, mais comment le montrer rigoureusement, et en n'utilisant que les définitions ?
En fait, il faut montrer que :

:
Je suis d'accord avec toi concernant la réciproque. :happy3:

[Anonyme]

Si
et si x est "a l'extérieur" de A avec

est ce que x peut appartenir à l'intérieur de A ?

[barbu23]

Si
et si x est "a l'extérieur" de A avec

est ce que x peut appartenir à l'intérieur de A ?

Il faut distinguer les cas :
Si , alors :
Si , alors :

[DamX]

[quote="barbu23"]Oui, mais comment le montrer rigoureusement, et en n'utilisant que les définitions ?
En fait, il faut montrer que :

:
est la définition même de la borne inférieure

[barbu23]

Montrer :

:
Merci d'avance.

revient à montrer :

:

[Anonyme]

cqfd
@barbu23
Est ce un exo dont tu connaissais la réponse ?

[barbu23]

cqfd
@barbu23
Est ce un exo dont tu connaissais la réponse ?

C'est un exo, que je mémorise depuis longtemps, mais, j'ai oublié comment on fait pour le démontrer. :hum:

[Anonyme]

Super , j'espère que t'en as pas plein ton placard.... car sinon on va avoir beaucoup du boulot...
a+

[barbu23]

Alors, personne n'est prêt à engouffrer son cerveau dans ce travail ? :zen: :happy2:

[barbu23]

Pourquoi cela implique que : :

[DamX]

Alors, personne n'est prêt à engouffrer son cerveau dans ce travail ? :zen: :happy2:

?? Mais qu'est-ce qui ne te convient pas dans ce que j'ai écrit ? Je suis parti uniquement des définitions.

[barbu23]

si , alors tout tout voisinage de x est d'intersection non nulle avec A

Qui te l'as dit ?
Je cherche un raisonnement rigoureux.

[barbu23]

Je dis ça, parce que, des fois, il y'a même des distances qui prennent des valeurs négatives.
D'accord, pas besoin de compliquer les choses Damx,tu as raison. Merci en tous cas. :happy3:

[DamX]

Qui te l'as dit ?
Je cherche un raisonnement rigoureux.

J'ai réécrit deux messages plus loin sous une forme mathématique.

Je remets (dsl pour l'absence de latex) :

d(x,A) = 0 inf(y dans A) [d(x,y)] par définition.

Et par définition de l'inf, pour tour r>0, il existe y dans A tel que |d(x,y) - 0| < r, ie d(x,y) < r.

Donc x est dans l'adhérence de A.

[barbu23]

Voilà, merci beaucoup. :happy3:
Il faut que je révise à nouveau mes cours, parce que là, c'est la catastrophe, je sais même pas ce qu'est l'inf d'une partie. :marteau: