Adhérence

[mimix]

bonjour,
je viens de commencer la topologie, et j'ai du mal à ingurgiter ce cours... :

pourquoi pour démontrer que l'adhérence d'une boule ouverte de centre a et de rayon r, est la boule fermée de centre a et de rayon r, il SUFFIT de vérifier que pout point x de la sphère de centre a, de rayon r est adhérent à la boule ouverte.

merci.

[arnaud32]

l'adherence d'un esemble est le plus petit ferme contenant cet ensemble
(son existance est garantie car l'espace lui meme est ferme et contient cette partie, et un intersection de fermes est un ferme)

en particuler tu as l'adherence d'un esmble contient cet ensemble
tu veux démontrer que l'adhérence d'une boule ouverte de centre a et de rayon r, est la boule fermée de centre a et de rayon r.
les seuls points de la boule fermée de centre a et de rayon r qui posent problemes sont ceux qui ne sont pas deja dans la boule ouverte, c'est a dire ceux qui sont sur la sphere.

[mimix]

merci avec la définition que tu m'as donnée, c'est plus clair, jraisonnais avec les intersections...

[mimix]

en faîte j'ai encore besoin de votre aide,

pour démontrer que tout point x de S(a,r) est adhérent à la boule ouverte Bo(a,r), on utilise une homothétie: y = a + µ(x-a), y étant l'image de x par l'homothétie de centre a et de rapport µ compris entre 0 et 1 (bornes non comprises).
On calcule ensuite les 2 normes, on trouve: || y - a || = µr, et || y - x || = (1-µ)r. Juste que là OK.

On introduit ensuite b, tel que 0 0).

Donc on a µr 0, on a tout point de S(a,r) qui est adhérent à Bo(a,r) c'est bien ça?

Ah et sinon pourquoi est-ce qu'on a introduit l'homothétie, j'y aurais jamais pensé!!

[arnaud32]

en fait tu n'a sfait aucune hypothese sur jusque la
et c'est en sens inverse que ca fonctionne tu prends b>0
tel que 00

ton homotetie te sert juste a parcourir le segment [a,x] a l'interieur de la boule