Equation à 3 inconnues

[Charly2013]

Bonjour

Je pose le problème ci dessous et j'espère que j'aurai une réponse

Les 3 inconnues sont X1, X2, X3, les termes connues sont : Y1, Y2, Y3, N1

Le problème est posé de la façon suivante :

X1*Y1 = N1+X1+X2+X3
X2*Y2 = N1+X1+X2+X3
X3*Y3 = X1+X2+X3

A partir de la je dois trouver X1, X2, X3

Merci d'avance

[Archibald]

Bonjour,



ton système pourrait aussi se poser de cette manière (j'ai intentionnellement remplacé par )



Donc : si alors
si alors

[Charly2013]

Bonjour

Merci pour votre réponse mais n'étant pas très doué en math, je n'ai rien compris mis à part que vous avez posé le problème différemment ceci ne m'éclaire pas plus sur la solution.

Ce qu'il me faut clairement c'est à partir du problème posé, quels sont les formules qui me permettent de connaître X1 puis X2 puis X3

Donc clairement :

X1 = formule..
X2 = formule..
X3 = formule..

Il faut à partir des termes connus, réussir à trouver un des X qui ensuite permettra de déterminer les autres. J'ai donc besoin de connaître les formules pour ces 3 inconnues que je n'arrive pas à trouver ni avec le problème comme je le pose, ni avec votre façon de le poser.

Merci d'avance pour votre aide.

[chan79]

Bonjour

Je pose le problème ci dessous et j'espère que j'aurai une réponse

Les 3 inconnues sont X1, X2, X3, les termes connues sont : Y1, Y2, Y3, N1

Le problème est posé de la façon suivante :

X1*Y1 = N1+X1+X2+X3
X2*Y2 = N1+X1+X2+X3
X3*Y3 = X1+X2+X3

A partir de la je dois trouver X1, X2, X3

Merci d'avance

salut
Compte tenu des deux premières lignes, tu peux écrire X1*Y1=X2*Y2 et exprimer X2 en fonction de X1.
En remplaçant X2 dans la troisième égalité, tu peux exprimer X3 en fonction de X1.
Tu remplaces ensuite X2 et X3 dans la première égalité.
il peut y avoir des cas particuliers.

[Archibald]

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations linéaires, en l’occurrence, un système de 3 équations à 3 inconnues . Tu conviendras que le système posé initialement est équivalent à celui de mon premier poste (j'ai juste déplacé les inconnues à gauche et factorisé).

Nous avons donc un système de la forme : avec :

(les coefficients de tes inconnues)
(tes 3 inconnues)

La solution de ce système est donc : , soit ici :



Or, on ne peut pas diviser par 0, ça nous fait donc deux cas à traiter :

a) : cela se résout très simplement par combinaisons linéaires.
Voir ici si tu veux un exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Systeme_d%27equations_(mathematiques_elementaires) ; section "Système de 3 équations à 3 inconnues")

b) : le système se simplifie





Unique triplet solution du système,

[Black Jack]

X1*Y1 = N1+X1+X2+X3
X2*Y2 = N1+X1+X2+X3
X3*Y3 = X1+X2+X3

Si Y1, Y2 et Y3 sont différents de 0 :

X1 = N1/Y1 + (X1+X2+X3)/Y1 (1)
X2 = N1/Y2 + (X1+X2+X3)/Y2 (2)
X3 = (X1+X2+X3)/Y3 (3)

(1) + (2) + (3) -->
X1 + X2 + X3 = N1/Y1 + N1/Y2 + (X1 + X2 + X3)*(1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3)

X1 + X2 + X3 = (N1/Y1 + N1/Y2)/[1 - (1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3)]
*****
Et en remplaçant (X1 + X2 + X3) par (N1/Y1 + N1/Y2)/[1 - (1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3)] dans (1), (2) et (3), on a :

X1 = N1/Y1 + (N1/Y1 + N1/Y2)/[y1*(1 - (1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3))]
X2 = N1/Y2 + (N1/Y1 + N1/Y2)/[y2*(1 - (1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3))]
X3 = (N1/Y1 + N1/Y2)/[1 - (1/Y1 + 1/Y2 + 1/Y3)]

... Si évidemment Y1, Y2 et Y3 sont différents de 0.

:zen:

[chan79]

salut Black Jack
OK pour X1 et X2
Pour X3, tu as oublié de diviser par Y3 à la fin
Sinon, il y a des cas particuliers
comme par exemple si (Y1,Y2,Y3)=(-1,1,1) infinité de solutions

[Charly2013]

Bonjour

Merci pour votre réponse.

J'essais de comprendre mais n'étant pas mathématicien, ce n'est pas évident.

Ceci m'à éclairé un peu mais mon problème est plus complexe.

Je voudrais vous le soumettre plus précisément car partant de la résolution précédente je voudrais avoir une solution pour beaucoup plus d'inconnus sur les équations linéaires afin de les mettre sous formule Excel ou sous forme d'algorithme pour les fournir à un programmeur.

J'ai eu une réponse et je vous en remercie mais je suis incapable de l'adapter ou de le transformer pour la solution large que je recherche (c'est à dire sur un nombre d'inconnus choisis au départ pouvant aller jusqu'à 10 ou plus).

Je suis prêt à verser 50 € à toute personne qui me trouvera la solution sous forme d'algorithme pouvant être intégré dans un programme informatique ou Excel.

Si vous êtes intéressé merci de me contacter si possible par mail

Cordialement

[chan79]

salut
pose un problème plus général, pour voir à quoi il ressemble
et garde tes 50 euros
ceux qui répondent ici sont désintéressés et répondent aux questions pour le plaisir :zen:

[Dlzlogic]

salut
pose un problème plus général, pour voir à quoi il ressemble
et garde tes 50 euros
ceux qui répondent ici sont désintéressés et répondent aux questions pour le plaisir :zen:

Salut Chan, tout à fait d'accord avec toi.
Il se trouve qu'il y a eu aujourd'hui une question posée relative aux équations linéaires, et comme on a l'habitude de les écrire sous forme matricielles, ça a bifurqué sur l'algèbre linéaire.
Pour cette question de résolution de système linéaire.
J'ai un module qui calcule cela en C. Je crois que je l'ai transcrit en PHP.
Par contre Excel, j'aime pas. Mais je suis sûr qu'il y a des membres qui n'auraient aucun mal à transposer cela en script utilisable par Excel.

[leon1789]

Salut Chan, tout à fait d'accord avec toi.
Il se trouve qu'il y a eu aujourd'hui une question posée relative aux équations linéaires, et comme on a l'habitude de les écrire sous forme matricielles, ça a bifurqué sur l'algèbre linéaire.

Jolie petite digression... Mais bon, encore une fois à contre-sens : cela n'a pas bifurqué vers l'algèbre linéaire à cause des matrices, car la question posée concernait d'entrée de jeu de l'algèbre linéaire numérique.

[leon1789]

J'ai eu une réponse et je vous en remercie mais je suis incapable de l'adapter ou de le transformer pour la solution large que je recherche (c'est à dire sur un nombre d'inconnus choisis au départ pouvant aller jusqu'à 10 ou plus).

On trouve partout des solveurs de systèmes linéaires. En particulier, le solveur d'Excel permet de résoudre des gros systèmes (numériquement, et pas formellement).

[Charly2013]

Le système plus complet que je recherche est le suivant.

Au lieu d’être limité à 3 inconnus, il y aura un nombre défini au départ par choix de l’utilisateur, c'est-à-dire moi. C’est pour cela que je cherche un système pouvant être informatisé à partir de chaque variable entré au départ. Il faut donc que ce soit sous forme d’algorithmes pour être intégré dans un programme informatique.

Ainsi le programme devra être capable de trouver tous les inconnus en fonction de toutes les variables connues qui serviront aux formules de calcul. Encore une fois je ne suis pas matheux mais on me parle de formules linéaires pour résoudre le problème.

Les termes inconnus à trouver seront nommés : X1,X2,X3,X4 etc.

NbX : le nombre de X choisi au départ , c'est-à-dire le nombre d’inconnus à trouver.

Pour chaque X correspondra un Y avec Y obligatoirement toujours supérieur à zéro.

Ob (comme objectif) est une fixé également au départ

NbXR : Nb de X ou la valeur Ob ne doit pas entrer dans la formule de calcul.
XR : c’est donc les X choisis sans la variable Ob dans sa formule.

Voici un exemple, j’espère qu’il sera suffisamment clair et aidera à trouver la solution.

Voici donc un exemple complet à partir de choix de départ, pour un exemple simple je me limite à 5 inconnus sachant bien sur qu’il pourra y en avoir plus.

Choix 1 : NbX = 5 que je nomme donc X1,X2,X3,X4,X5.

Choix 2 : NbXR = 2 (dans un programme pour faire ce choix je les cocherai) pour l’exemple je choisi X4,X5.

Choix 3 : Entrer la valeur de chaque Y correspondant à chaque X ( Y1 correspondra à X1, Y2 correspondra à X2 ect.)

Choix 4 : Ob une valeur Fixe qui est l’objectif à atteindre.

Il y à donc pour mes choix de départ 5 inconnues sont X1, X2, X3,X4,X5
les termes connues sont : Y1, Y2, Y3, Y4,Y5 et Ob

Le problème est posé de la façon suivante :

Pour chaque X , j’ai la formule suivante :

X1*Y1 = Ob+X1+X2+X3+X4+X5
X2*Y2 = Ob+X1+X2+X3+X4+X5
X3*Y3 = Ob+X1+X2+X3+X4+X5

Sauf pour les X choisis dans XR , c'est-à-dire dans mon exemple X4,X5


J’ai les formules :

X4*Y4 = X1+X2+X3+X4+X5
X5*Y5 = X1+X2+X3+X4+X5

Ce qui veut dire que pour les XR, le terme Ob ne sera pas intégrer dans la formule


A partir de la je dois trouver X1, X2, X3,X4,X5

Pour résumer à partir des variables : Y1, Y2, Y3, Y4,Y5 et Ob et du choix des XR, je dois avoir des formules ou algorithmes qui me donne automatiquement les valeurs de chaque X.

X1 =
X2 =
X3 =
X4 =
X5 =

Voila si quelqu’un est capable de me donner des formules informatisables avec un nombre de X (c'est-à-dire d’inconnus défini au départ qui pourra être supérieur à 5) pour résoudre mon problème, je vous remercie d’avance et je maintiens mon offre de bon cœur même si je sais que vos aides sur ce forum n’ont aucun objectif lucratif.

Merci d’avance à tout ceux qui participeront à ma demande.