Equation complexe de drgres 3

[Boyfriend13]

Bonjour ,
Je dois resoudre cette équation :
((z+i/(z-i))^3+((z+i/(z-i))^2+((z+i/(z-i))+1=0
j'ai pensais à poser X=((z+i/(z-i))
On a donc : X^3+X^2+X+1=0
En factorisant j'ai (X+1).(X²+1)
Donc
X+1 = 0 --> X = -1
X²+1 = 0 ---> x = -i ou X = i

a)

z+i/(z-i) = -1
...
-----
b)

z+i/(z-i) = -i
...
-----
c)

z+i/(z-i) = i

pour a) je trouve z=0
et pour b) je suis bloqué a l'étape : z+i=iz+1

Merci de votre aide :)

[Sylviel]

Bonjour,

fais attention aux parenthèses :
z+i/(z-i) = .

Sinon pour ton b) il te suffit de rassemble tous les z à gauche (et de factoriser par z) et les constantes à droite.

[Boyfriend13]

on donc la suite pour b)
z-iz=1-i
z(1-i)=1-i
z=1 ?

[Sylviel]

pas tout à fait car il y a eu une erreur au départ : que vaut
-i(z-i)= ?

[Boyfriend13]

ca vaut z-1 ?

[Sylviel]

Petit rappel sur le développement :
a(b+c) = ab + ac ;-)

[Boyfriend13]

-iz+i^2=-iz-1

[Sylviel]

Oui, maintenant tu n'as plus qu'à résoudre ton équation.

[Boyfriend13]

z+i=-i(z-i)
z+i=iz-1
z-iz=-1-i
z(1-i)=-1-i
z=-1 ?

Et pour c) on a z=1 ?

[Sylviel]

Comment, après la discussion qu'on vient d'avoir, tu peux écrire cela ?

z+i=-i(z-i)
z+i=iz-1

[Boyfriend13]

pour b)
z+i=-i(z-i)
z+i=-iz-1
z+iz=-1-i
z(1+i)=-1-i
z=(-1-i)/1+i ?

pour c)
(z+i)/(z-i) = i
z+i=i(z-i)
z+i=iz+1
z-iz=1-i
z(1-i)=1-i
z=1 ?

[Sylviel]

Ca me parait juste. (je n'ai pas vérifier ton arrivée à a,b,c par contre).

[Black Jack]

pour b)
z+i=-i(z-i)
z+i=-iz-1
z+iz=-1-i
z(1+i)=-1-i
z=(-1-i)/1+i ?

pour c)
(z+i)/(z-i) = i
z+i=i(z-i)
z+i=iz+1
z-iz=1-i
z(1-i)=1-i
z=1 ?

Remarque que le cas b se simplifie au final à z = -1

Mais tu devrais prendre garde aux parenthèses.

:zen:

[busard_des_roseaux]

pourquoi tu ne résoud pas en (somme des termes d'une progression géométrique)?

[Black Jack]

pourquoi tu ne résoud pas en (somme des termes d'une progression géométrique)?

... sans oublier d'exclure X = 1 des solutions.


Cela a d'ailleurs été proposé en alternative sur le site ami de L'île des maths.

:zen: