Problème de topologie

par **alitshe** » 03 Oct 2013, 19:01

Bonjour, j'ai un exercice a faire et je n'y arrive vraiment pas. J'ai été voir ma prof qui m'a donné des indications mais je suis bloquée, voila l'énoncé et le début de ma réponse.

On considère l'espace métrique R² muni de la distance euclidienne d2. Pour tous a,b de R² on note l(a,b) le segment reliant a à b dans R² :

l(a,b)={ ta+(1-t)b / t appartient à [0;1] }

Soient A et B deux sous ensembles de R² et C(A,B) = union ( sur (a,b) dans A*B) l(a,b)

Montrer que si A et B ouverts alors C(A,B) est ouvert.

Alors voila ce que j'ai fais :

Soit z de C(A,B) alors il existe a dans A et b dans B tels que z appartient à l(a,b)
or A et B ouverts donc
il existe ra>0 tel que B(a,ra) incluse dans A et
Il existe rb>0 tel que b(b,rb) incluse dans B
on prend r=min(ra,rb)
donc B(a,r) incluse dans A et B(b,r) dans B

On veut montrer que pour tout m de B(z,r) il existe a' dans A et b' dans B tels que m est dans l(a,b)

soit m dans B(z,r)
alors d2(m,z) < r

et la je suis bloquée j'ai voulu ecrire la formule de la distance euclidienne en prenant m = (xm,ym) et z = (xz, yz) mais ca ne donne rien.
sinon je me demandais si on pouvais ecrire z = ta + (1-t)b ??

par **jlb** » 03 Oct 2013, 20:04

tu as fais un dessin? à partir de ton point m comment obtenir a' dans la boule de centre a et b' dans la boule de centre b tels que m appartiennent au segment reliant a' et b'.
Un bon dessin, c'est pas mal!!!

par **alitshe** » 03 Oct 2013, 20:10

oui j'ai fais un dessin et j'ai vu qu'il faut choisir a' et b' dans chacune des boules et sur un segment parallèle à l(a,b) par exemple c'est bien ca ?

par **alitshe** » 03 Oct 2013, 20:18

j'ai une idée : on peut prendre a', b' tels que vecteur aa' = vecteur bb' = vecteur zm avec || mz || < r

par **jlb** » 03 Oct 2013, 20:22

alitshe a écrit:j'ai une idée : on peut prendre a', b' tels que vecteur aa' = vecteur bb' = vecteur zm avec || mz || < r

cela a l'air pas mal, non? un bon dessin, rien de tel!!

par **alitshe** » 03 Oct 2013, 20:25

oui ça semble bien ce qui me paraît étrange c'est qu'on utilise pas la "formule" de l'ensemble l(a,b) ni que A et B sont ouverts :/

par **mrif** » 03 Oct 2013, 23:12

alitshe a écrit:oui ça semble bien ce qui me paraît étrange c'est qu'on utilise pas la "formule" de l'ensemble l(a,b) ni que A et B sont ouverts :/

Ta démo est correcte
Tu as déjà utilisé que A et B sont ouverts pour l'existence des boules de centres a et b contenues respectivement dans A et B.
La formule définit un segment et on n'est pas obligé d'utiliser cette définition mais tu as utilisé le fait que m appartient à un segment d'extrémités a et b.

par **deltab** » 04 Oct 2013, 00:21

Bonsoir.
Le même exercice a été posté dans

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-569646.html

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