Connexité sur R

[egan]

Bonjour,

J'ai du mal à voir pourquoi un intervalle est connexe. Est-ce que vous pourriez m'expliquer cela en utilisant aucun prérequis ?

Merci par avance.
Boris.

[mrif]

Qu'est-ce que tu as comme définition de la connexité?

[L.A.]

Bonsoir.

Soient a
B = {a <= y <= x | [y,x] est inclus dans A}

B est non vide (car x est dans B) et donc B a une borne inférieure c dans R avec a <= c <= x.
Supposons que c > a.

il existe une suite c_n décroissante d'éléments de B qui tend vers c, on en déduit que ]c,x] est inclus dans A donc, puisque A est fermé, que c appartient à A, donc à B. Puisque A est ouvert, il existe r>0 tel que B(c,r) est inclus dans A, donc en choisissant 0a on a [c-e,x] inclus dans A donc c-e appartient à B. On a contradiction avec le fait que c est borne inférieure.

donc c=a et [a,x] est inclus dans A, de même [x,b] est inclus dans A. Attention, il y a quelques points à développer et faire attention à la topologie induite.

[egan]

Qu'est-ce que tu as comme définition de la connexité?

J'ai la définition qui dit qu'un connexe ne peut pas être l'union de deux de ses ouverts non vides et disjoints.

[mrif]

J'ai la définition qui dit qu'un connexe ne peut pas être l'union de deux de ses ouverts non vides et disjoints.

Soit un intervalle I et supposons que I = A Union B où A et B sont des ouverts de I non vides et disjoints. A et B sont complémentaires l'un de l'autre donc ils sont également fermés.

Soient a dans A et b dans B. Puisque A et B sont disjoints, a est différent de b. On peut supposer a < b. Soit c = sup ([a;b] inter A), c appartient à ([a;b] inter A puisque cette intersection de fermés est fermée.

Si tu as compris jusque là, la suite consistera à montrer que c = b donc b est à la fois dans A et B, ce qui conduit à une contradiction.

Je te laisse montrer que c = b en utilisant le fait que A est un ouvert, et si tu n'y arrives pas, tu reviens.