Divisibilité PGCD

[Mastic]

Salut,

J'aimerai bien quelqu'un me fait cet exo, et de m'expliquer,


Soit a un entier naturel.

Prouver que 2 divise a(a²-1) ( Remarquer qu'un entier a s'écrit a =2q ou q = 2q+1)
Prouver que 3 divise a(a²-1) ( Remarquer qu'un entier a s'écrit a =3q ou a = 3q+1 ou a 3q+2)

Merci,

[LA solution]

En factorisant a(a^2-1) ona:
(a-1)a(a+1) et on sait que le produit de trois nombres consecutifs est toujours divisible par 2
car :
si (a-1)=2p alors a=2p+1 et a+1= 2p+2
donc on aura: 2p(2p+1)(2p+2) est de la forme 2k qui divisible par 2
Et si (a-1)=2p+1 alors a=2p+2 et a+1=2p+3 donc on aura encore 2(p+1)(2p+1)(2p+3) qui est toujours divisible par 2
et le tour est jouer