Equation et complexe

[math_1]

Bonjour, pouvez vous m'aider avec cette exercice s'il vous plait ?

Soit b un réel non nul et n allant de 2 à +infini, on a l'équation d'inconnue z appartenant à C:

(1+iz)/(1-iz))^n = (1+ib)/(1-ib)

1. Montrer sans les calculer que les solutions sont réelles.
J'ai réussi.

2. Justifier qu'il existe un unique réel theta appartenant à ]-pi/2, pi/2[ qu'on exprimera en fonction de b tel que: (1+ib)/(1-ib)= e^i(2thetha)
Je ne vois pas comment partir...

3. On réécrit (1+iz)/(1-iz))^n =e^i(2thetha)
Traiter les cas: n impair, n pair et montrer que n/2 - theta/pi n'appartient pas à Z.

4. Résoudre l'équation et déterminer le nombre exact de solutions.

[Sa Majesté]

Salut

Quand est-ce que tu peux écrire un nombre complexe sous la forme ?

[XENSECP]

La 2), ça revient à dire que le module vaut 1 :) C'est l'écriture exponentielle.

[math_1]

Oui j'ai bien compris cela mais je n'arrive pas à exprimer theta en fonction de b ...
Je n'ai que cos thetha en fonction de b et sin theta en fonction de b

[XENSECP]

Oui c'est bien. cos(theta) et sin(theta) en fonction de b, ça te donne une valeur unique :)

[math_1]

Pouvez me dire si c'est correct?

cos theta= 1/ racine de (1+b²)
sin theta = b/ racine de (1+b²)

cos theta étant positif on a theta qui appartient à l'intervalle voulue et comme sur cet intervalle cos est croissant alors il n'y a qu'une seule valeur.

[XENSECP]

Hum je ne suis pas d'accord. Pourrais-tu développer tes calculs?

[math_1]

1+ib= racine de (1+b²) * [(1/racine de 1+b²) + i *(b/racine de 1+b²)]
1-ib= racine de (1+b²) * [(1/racine de 1+b²) - i *(b/racine de 1+b²)]

on a donc (1+ib)/(1-ib)= e^ithetha/ e^-ithetha
avec
cos theta= 1/ racine de (1+b²)
sin theta = b/ racine de (1+b²)