DM sur les suites Term S

[Meteeore]

Bonjour ! Déjà le deuxième DM de l'année, plus facile que le premier, mais quand même très très difficile.
Je vous laisse en juger :

"L'un des objectifs de ce problème est de démontrer la propriété suivante : Toute puissance entière du nombre (1+racine2) est la somme des racines carrées de deux entiers consécutifs"

1) Démonter que Racine(2) n'est pas un entier rationnel
2) Vérifier l'exactitude de la propriété énoncée pour le nombre (1+racine(2))^n pour les quatre premières valeurs de l'entier naturel n
3) On admet que, pour tout entier naturel n, le nombre (1+racine(2)^n s'écrit sous la forme an+bn*racine(2), où an et ben sont des entiers naturels déterminés en fonction de n.
a) Calculer les quatre premiers termes de chacune de ces deux suites (an) et (bn)
b) Exprimer a(n+1) et b(n+1) en fonction de (an) et (bn)
c) Grâce à la calculatrice (en mode "suites"), donner les valeurs de a10 et b10 ; en déduire la valeur exacte de (1+racine(2))^10. Comment vérifier que ce résultat semble exact ?
d) Expliquez pourquoi, à partir de n=14, les valeurs de (1+racine(2))^n affichées à la calculatrice sont fausses
4) On pose pour tout entier naturel n : Un=an²-2bn²
a) Donner les quatre premiers termes de la suite U
b) Quelle semble donc être l'expression de Un en fonction de n ?
c) Déterminer la nature de la suite u puis démontrer que pour tout entier naturel n, Un=(-1)^n
d) Donner à partir de quelle valeur de n la calculatrice affiche des valeurs fausses de Un
5) Démontrer que pour tout naturel n, le nombre (1+racine(2))^n s'écrit comme somme des racines carrées de deux entiers consécutifs.
6) Démontrer par récurrence la propriété : "(an) et (bn) sont des suites positives"
7) En déduire que ces deux suites sont croissantes
8) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, an>=n (supérieur ou égale), et bn >=n
9) Déterminer les limites des trois nombres an, bn et (1+racine(2))^n
10) A l'aide de la calculatrice, conjecturer plusieurs propriétés de la suite v définie par : pour tout entier naturel n non nul, Vn=an/bn
11) Déterminer la limite de la suite v
12) Donner une fraction rationnelle approchant le nombre racine(2) à 10^-7 près.
13) Question ouverte : que se passe-t-il pour (1+racine(2))^n quand n est un entier négatif ?

Voilà, j'ai réussi jusqu'à la 3) après je sèche complètement ... Merci d'avance pour votre aide !!

[XENSECP]

Salut,

Tu as probablement fait la 4a)? Tu veux nous partager le résultat?

[Meteeore]

Salut,

Tu as probablement fait la 4a)? Tu veux nous partager le résultat?

J'ai fais que la a) du 3) ..

[XENSECP]

...

[Meteeore]

...

Et euh c'est la réponse à quelle question s'il te plaît ?

[XENSECP]

Et euh c'est la réponse à quelle question s'il te plaît ?

3b) du coup. Et c'est juste un coup de pouce.