Trigonométrie

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Bonjour j'ai des petits problèmes pour l exercices suivant :

Démontrez que :

tg 9°- tg 27°- tg 63°+ tg 81° = 4. Je ne sais absolument pas comment faire.





Voila, merci

[Ericovitchi]

c'est quoi tes petites virgules ? tu as voulu écrire tan 9° * tan 27° * tan 63° * tan 81° ? ça vaut 1 et pas 4.

remarque que 81° c'est 90°-9° et pense que tan(90°-x)=cotan(x)=1/tan(x)

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c'est quoi tes petites virgules ? tu as voulu écrire tan 9° * tan 27° * tan 63° * tan 81° ? ça vaut 1 et pas 4.

remarque que 81° c'est 90°-9° et pense que tan(90°-x)=cotan(x)=1/tan(x)

ahah désolé non c'est un + donc.

merci en tout cas, j'ai compris le principe je crois :
tan 9° + tan 27° + tan 63° + tan 81° = 4
donc j'ai tan 9 + tan 27 + tan ( 90 -27 ) + tan (81 - 9) = 4

[mathafou]

Bonjour,

ahah désolé non c'est un + donc.

merci en tout cas, j'ai compris le principe je crois :
tan 9° + tan 27° + tan 63° + tan 81° = 4
... (calculs inutiles)
c'est faux jvais chercher l'erreur plus tard.

C'est l'énoncé qui est faux (= toujours mal recopié)
toutes ces tangentes sont positives, et un coup de calculette donne déja tan81° = 6.3 > 4
la somme est donc > 6.3 > 4

[activee]

Bonjour,C'est l'énoncé qui est faux (= toujours mal recopié)
toutes ces tangentes sont positives, et un coup de calculette donne déja tan81° = 6.3 > 4
la somme est donc > 6.3 > 4

oui je devrais donc avoir la somme des tangeante = 4 , ce qui prouvera que l'enoncé est faux.
Mais j'obtiens racine carré de deux qui est deja plus ptit que tan 81.
Mais pour l'instant je suis bloqué sur un autre exercice 2sin³x = sin 3x.

[mathafou]

Mais j'obtiens racine carré de deux qui est deja plus ptit que tan 81.

que l'énoncé soit faux certes, mais le calcul est lui aussi faux : ça ne donne pas non plus racine de 2 !!

1/ cos(90-9) . cos 9 + 1 / cos(90-27). Cos 27 = 4 OK jusque là (pourquoi pas)

(cos (90-9) .cos 9) = 2 cos (90/2).cos(90-18) = sqrt(2)cos (72)
ça c'est faux.
tu as l'air de mélanger joyeusement les formules, et les additions avec les multiplications

cos(a) cos(b) = (cos(a-b) + cos(a+b))/2
cos (81) .cos(9) = (cos(72) + cos(90))/2 = (cos(72))/2

de même
cos(63). Cos(27) = (cos(36))/2
ce qui donne
2/cos(72) + 2/cos(36)
qui est bien > 2 + 2 = 4 (puisque les cos sont < 1)
quant à sa valeur exacte, il me semble que des racines cubiques sont incontournables au final
l'erreur d'énoncé est plus fondamentale que juste la valeur 4.
on peut toujours exprimer ça en fonction du seul cos(36) mais ensuite nada.

Mais pour l'instant je suis bloqué sur un autre exercice 2sin³x = sin 3x.

ça c'est une équation à résoudre ...
exprimer déja sin(3x) en fonction de sin(x) puis poser U = sin(x) pour obtenir une équation en U
à priori du 3ème degré mais comme U = 0 (x= 0) est solution évidente ça se réduit au second degré en U

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Merci, la deuxieme equation je l'ai résolue.

Quant au premier problème, désolé pour les fautes de recopiage, mais je galère tjrs.


tan 9° - tan 27° - tan 63° + tan 81° = 4

j'ai :

tan 9° - tan 27° - cot 27° + cot 9 ° = 4

tan 9° - tan 27 ° - 1/tan 27° + 1/tan 9 ° = 4

(tan² 9 + 1)/tan 9 - (tan² 27 + 1)/tan 27 = 4

sin9/cos 9 + cos 9/sin 9 - cos27/sin 27 - sin27/cos 27 = 4

1/cos9sin9 - 1/ cos27sin27 = 4

1/ sin 18 - 1/sin 54 = 2 <= la jsuis bloqué.

[mathafou]

Quant au premier problème, désolé pour les fautes de recopiage, mais je galère tjrs.
tan 9° - tan 27° - tan 63° + tan 81° = 4
...
1/ sin 18 - 1/sin 54 = 2

OK jusque là (ah ! ces fautes de recopiage... :mur: maintenant c'est le bon énoncé au moins !)
la suite est alors facile :
réduire au même dénominateur,
utiliser sin(a) - sin(b) = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)
et cos(90°-a)=sin(a)

il y a peut être un cheminement plus simple depuis le départ, mais comme tu es parti cela permet de terminer à partir de là où tu en es.