Conditionnement en probabilité

[s.wilks]

Conditionnement en probabilité: indépendance d'événements deux à deux et indépendance mutuelle

Bonjour.

Ma question porte sur le conditionnement en probabilité.
Le cours affirme que "Des événements peuvent être deux à deux indépendants sans être mutuellement indépendants."

Pourtant, on a la proposition suivante:
"n événements A1, A2, ..., An sont mutuellement indépendants
si pour tout k € {1,..., n}, pour tout (i1, i2, ..., ik) € {1,..., n}^k ,
les indices i1, i2, ..., ik étant deux à deux distincts,
p(Ai1 inter Ai2 inter ... inter Aik) = p(Ai1).p(Ai2). ... .p(Aik)".

Donc, je me dis qu'on doit pouvoir tenir le raisonnement suivant:
"Si l'on part de n événements A1, A2, ..., An deux à deux indépendants,
alors pour tous k,l € {1,..., n}, pour tout (ik, il) € {1,..., n}² ,
alors p(Aik inter Ail) = p(Aik).p(Ail)
d'où p(Aik inter Ail inter Aim) = p(Aik inter Ail).p(Aim) = p(Aik).p(Ail).p(Aim)
etc... on arrive à "les événements A1, A2, ..., An sont mutuellement indépendants"."

Je ne vois pas pourquoi mon raisonnement est faux.

Je vous remercie pour vos réponses.

s.wilks

[lionel52]

Rien ne dit que Aik est indépendant de Ail inter Aim :)

[beagle]

page 12 de :
http://www.sites.univ-rennes2.fr/laboratoire-statistique/AGUYADER/doc/iniproba/poly.pdf

[s.wilks]

Bonjour lionel52, bonjour beagle et bonjour aux autres aussi.
Merci à tous les deux.
Comme tu me l'as fait remarquer beagle, l'exemple et le contre-exemple du polycopié expliquent bien la différence entre "indépendance deux à deux" et "indépendance mutuelle".
Bonne journée.


s.wilks