Fonction : Ai-je bon ?

[mzelledu45]

f est la fonction definie sur [0;+infini[ par: f(x)=x²+x
On se propose d'étudier les variations de f

1) Conjecturer:
a) Utiliser la calculatrice pour conjecturer le sens de variation de f
J'ai utilisé ma calculatrice. Sa fait un parabole positive .
b) Pourquoi l'observation de l'écran de la calculatrice ne suffit pas pour être certain du sens de varation sur [0;+infini[ ?
Comme l'infini n'est pas une valeur que l'on puisse atteindre Donc il est impossible d'afficher tout cette intervalle.

2) Preuve :
u et v désignent deux réels de [0;+infini[
a) Quel est le signe de chacun des réels u et v ?
Puisque u et v sur [0;l'infini[ alors il sont positifs ou nuls.

b) Vérifier que f(u)-f(v)=(u-v)(u+v+1)
f(u)=u²+u et f(v)=v²+v
f(u)-f(v)=u²-v²+u-v
f(u)-f(v)=(u-v)(u+v+1)

c) Déduire de a), le signe de u+v+1
la somme de 2 nombres positifs ou nuls avec un nombre positif est positive

d) On suppose que u=<v. Que peut-on dire alors du signe de f(u)-f(v) ?
Si u=<v
On sait que un des facteur est possitif donc f(u)-f(v) est du signe (u-v). Or v est plus grand ou egale a u donc il est négatif ou nul.

e) Conclure pour le sens de variation de f.
puisque f(v) est plus grand ou égal à f(u) pour toute valeurs u et v sur l'intervalle étudié tel que u plus petit ou égal à v.

[Slaker]

Pour la d), la réponse est juste mais il y a plus simple pour justifier :
u + v + 1 > 0, et (u - v) =< 0, donc f(u) - f(v) =< 0.

Ensuite pour la e) je pense que tu as compris mais ta phrase n'est pas bonne.

[Slaker]

Le reste est juste sinon

[mzelledu45]

Merci :)

Pour e) puisque f(v) est plus grand ou égal à f(u) pour toute valeurs u et v sur l'intervalle étudié tel que u plus petit ou égal à v.
On conclue que f(v) >=f(u) donc u<=v donc le sens de varation est positif

[Slaker]

Pas encore, je crois que tu fais une petite confusion entre les u et v et f(u) f(v).
Quand on te demande les variations d'une fonction, c'est les variations des valeurs de cette fonction, on cherche à savoir si la fonction est croissante, décroissante,...

La fonction va bien sur de u vers v, puisque u =< v, ce qu'on veut savoir c'est si elle va de u vers v en grandissant ou en diminuant.

La, on a : u =< v et f(u) =< f(v), ce qui est la définition d'une fonction croissante.
Donc pour chaque u et v de l'intervalle étudié tel que u est plus petit que v, f(u) est plus petit que f(v), et donc la fonction est croissante sur l'intervalle.

(j'ai essayé de détailler pour bien faire comprendre, dis moi si ce n'est pas clair)

[mzelledu45]

Pas encore, je crois que tu fais une petite confusion entre les u et v et f(u) f(v).
Quand on te demande les variations d'une fonction, c'est les variations des valeurs de cette fonction, on cherche à savoir si la fonction est croissante, décroissante,...

La fonction va bien sur de u vers v, puisque u =< v, ce qu'on veut savoir c'est si elle va de u vers v en grandissant ou en diminuant.

La, on a : u =< v et f(u) =< f(v), ce qui est la définition d'une fonction croissante.
Donc pour chaque u et v de l'intervalle étudié tel que u est plus petit que v, f(u) est plus petit que f(v), et donc la fonction est croissante sur l'intervalle.

(j'ai essayé de détailler pour bien faire comprendre, dis moi si ce n'est pas clair)

Si merci . Je me suis emmêlé entre Positif et croissant