Analyse Numérique S4

[nicolas1907]

Bonjour, je dois préparé 3 exercices, je les ai réussi un peu donc j'aurai besoin de vos aides pour les réussir entièrement !! Et j'aimerais bien avoir vos solutions aussi pour voir si j'ai juste sur les peu de choses que j'ai fait. Merci d'avance !

Ex1: Soit l'application f: R->R
x-> x - cos(x)
1) Montrer que f admet une unique racine s sur R. Montrer que 0 < s < 1.
2) Montrer que la suite définie par Xn+1 = cos(Xn) convers vers s.
3) Soit a un réel et l'application Ga : x -> x + a (x - cos(x)).
On considère la suite (Xn) définie par { Xo appartient à [0;1]
{ Xn+1 = Ga(Xn) n>=0
Montrer que si a = -1/2 alors pour tout n, Xn appartient à [0;1]. Montrer que Xn -> s quand n tend vers l'infini.
4) Que se passe-t-il si a = 1/2.

Ex2: Pour l'approximation des zéros de la fonction f(x) = (2x² - 3x - 2) / (x-1) , on considère les méthodes de point fixes suivantes: 1) x(k+1) = g(x(k)) avec g(x) = (3x²-4x-2) / (x-1) (x(k+1) = la k+1 ème dérivé de x. Idem pour x(k) )
2) x(k+1) = h(x(k)) avec h(x) = x - 2 + x / (x-1)
Analyser les propriétés de convergence de ces deux méthodes et déterminer leur ordre.

Ex3: L'équation exp(x) - 4x² = 0 a une racine entre 0 et 1 .
Montrer que la fonction d'itération naturelle g(x) = exp(x/2) / 2 définit une suite convergente vers la racine, si Xo appartient à [0;1] .

[siger]

Bonjour,

Donne nous donc le "peu" que tu as fait!