Espace vectoriel besoin d'aide svp !

[Vander]

Bonjour à tous besoin d'aide sur un exercice assez compliqué.
Énoncé: Soit Fq un corps fini à q éléments, E un Fq-espace vectoriel de dimension fini n>0.
1° Montrer que E est un ensemble fini et donné son cardinal.
2° Trouver le nombre de familles libres à K éléments de E
3° Trouver le nombre de base de E.
4° Trouver le nombre de s.e.v de E de dimension K
Merci d' avance et bonne journée à tous !

[Clu]

Pour la question 1 :

Soit (e1,e2,e3,...,en) une base de E.
Soit x un vecteur de E : x s'écrit x = x1.e1 + x2.e2 + ... + xn.en
où x1 appartient à Fq
x2 appartient à Fq
x3 appartient à Fq
...
xn appartient à Fq.

Comme Fq contient q éléments,
x1 peut prendre q valeurs différentes
x2 ---------------q-------------
...
xn----------------q--------------

il vient que E contient n*q vecteurs différents.

Pour le rédiger proprement tu peux considérer l'application

G:(Fq)^n -> E
(x1,x2,...,xn) -> x1.e1 + x2.e2 + ... +xn.en

qui est un isomorphisme linéaire (car son noyau contient seulement l'élément nul et car dim(Fq^n)=dim(E)).
Donc comme Fq^n contient n*q éléments, E contient n*q éléments.
Comme (Fq)^n est un espace vectoriel