Exercices sur les ensembles et applications

[omaxime]

Bonjour,s'il vous plait j'ai un Problème et j'aimerais des explications pour mieux comprendre.
Problème:
partie I:
on considère une fonction f de N vers N vérifiant f(1)=1 et pour tous n,m de N:
f(m + f(n)=f(f(m)) +f (n).
On designe par Im f= f(N) l'image de f et on pose F={a élement de N / f(a)=a}
1. Montrer que f(0)=0.
2. En déduire fof=f.
3. Montrer que Im f=F
4. Montrer que pour tout n de F on a: n+1 appartient à F.
5. Montrer que F=N et en déduire f.
Partie II:
Soit f: R->R une application strictement monotone telle que pour tous x,y de R:
f(x+y)=f(x)+f(y),
on pose c=f(1)
1. Calculer f(0). Justifier c#0
soit g la fonction 1/c f.
2. Montrer que pour tous x,y de R:
i. g(x+y)=g(x)+g(y)
ii. g(x-y)=g(x)-g(y)
3. Montrer que pour tout n de N: g(n)=n
4. Montrer que g est une fonction impaire et en dèduire que pour tout n de Z,g(n)=n.
5. Montrer que pour tout r de Q: g(r)=r.
6. Montrer que g est strictement croissante.
7. Soit x de R. Montrer par l'absurde que g(x)=x
indication: on admet qu'entre deux réels quelconque il existe toujours 1nombre rationnel.
8. En déduire f.

Merci

[Goux]

Salut,

Pour la question 1, on peut fixer n = m = 0,

On réutilise la propriété de f :

f(m + f(n))=f(f(m)) +f (n)

On a donc :
f(0+f(0)) = f(f(0)) + f(0)

f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)

f(f(0)) - f(f(0)) = f(0)

0 = f(0)

D'où l'égalité

[Goux]

Pour la deuxième,

On choisit n = 0 et m quelconque,

On a donc :

f(m + f(0))=f(f(m)) +f (0)

Or f(0) = 0 d'apres 1/,

Donc f(m) = f(f(m)) quel que soit m,

D'où fof = f

[Goux]

Pour la 3 peut être essayer de faire une double inclusion

[Goux]

Tu as déjà que F c Imf ,
En effet tout élément de F s'écrit f(a) avec a dans N

Montrons que Imf c F

Soit b dans Imf,

Donc il existe a dans N, f(a) = b

Reprenons la propriété de f avec m = b et n = a :

f(b + f(a))=f(f(b)) +f (a)
f(b + b) = f(f(b)) + b car f(a) = b
f(2b) = f(b) + b car fof = f
2f(b) = f(b) + b car f linéaire
f(b) = b

donc b appartient à F car il vérifie f(b) = b

D'où F c Imf


Conclusion :
Imf c F
F c Imf

Donc Imf = F

[Goux]

4/ Soit n dans F,

Donc f(n) = n

Calculons f(n+1) :

on a 1 = f(1) par definition

donc on peut dire que f(n+1)=f(n+f(1))

Or ici on peut utiliser la propriété de f :

f(n+1)= f(n+f(1)) = f(f(n)) + f(1)
= f(n) + 1 car fof =f et f(1) = 1
= n+1 car f(n) = n

D'où f(n+1) = n+1 donc n+1 appartient à F

Conclusion si n est dans F, alors n+1 est dans F

[Goux]

5/ 0 est dans F car f(0) = 0

d'après 4/ 1 est dans F (car si n est dans F n+1 aussi)
donc de proche en proche 2 est dans F, 3 aussi etc

Donc tout n de N est dans F, N c F

Or F c N car F est composé d'éléments de N,

Par double inclusion F =N

[omaxime]

salut,merci @Goux.je comprend mieux maintenant,il reste donc la partie II.
Merci

[Goux]

Partie 2 :

1/Calcul de f(0):

On prend x = 0 et y = 1

f(0+1) = f(0) + f(1) d'apres la propriété de f

donc f(1) = f(0) + f(1)
donc f(0) = 0

Justification de c # 0 :

f(0) = 0 et f strictement monotone (décroissante ou croissante) donc dans tous les cas f(1) # f(0) donc f(1)#0 donc c#0

[Goux]

Pour la 2/ tu as juste à développer, remplacer par f puis utiliser sa propriété puis revenir en g

Pour la 3/ je ferais une récurrence

Soit P l'hypothèse de récurrence : g(n) = n

Vrai au rang 0 car g(0) = f(0)/c = 0

Supposons P vraie au rang n, montrons que P est vraie au rang n+1:

g(n+1) = g(n) + g(1) d'après 2/
= n + f(1)/c car on a supposé P vraie donc g(n) = n
= n + c/c car f(1) = c
= n+1

donc g(n+1) = n+1
Donc P est vraie au rang n+1

d'où d'après le principe de récurrence la propriété P est vraie pour tout n dans N, g(n) = n

[Goux]

D'après 2/ :
g(x-y)=g(x)-g(y) pour tout x,y dans R donc en particulier dans Z

Si on pose x = 0, quel que soit y

g(0-y) = g(0) - g(y) or g(0) = 0
g(-y) = -g(y)

D'où g est impaire, donc si g est impaire g est symétrique par rapport à l'origine, donc pour tout n dans Z, g(n) = n

[omaxime]

merci ca me parait très clair avec vos explications et merci de m'expliquer la suite car je ne vois pas bien la demonstration par l'absurde.salut

[Goux]

Pour la démonstration par l'absurde tu suppose que g(x) # x et de la tu dois en déduire une absurdité (quelque chose de faux comme par exemple 0#0) et donc tu en déduis que ton hypothèse est fausse et donc que g(x) = x pour tout x dans R

[omaxime]

ok,et comment montrer que g est strictement croissante? Est ce qu'il faut montrer que pour tout x de g il existe un m de R tel que g(x)