Exercices sur les applications - MPSI

[Astroo]

Bonjour,

Je travaille sur un exercice sur les applications dont l'énoncé est le suivant:

On considère E, F, G trois ensembles et on a g : F -> G une application
On définit alors l'application suivante:


Et donc je dois montrer que est injective si et seulement si est injective.
J'ai déjà montré que si g est injective l'est aussi mais j'ai du mal sur la seconde implication
J'ai une indication dans le sujet me disant: Si est injective, on pourra considérer les fonctions constantes F(E,F).

Merci d'avance
Cordialement

[abicah]

Bonjour,

Soient a, b appartenant à F tel que g(a)=g(b) (1)
on définie 2 applications constantes f et f' de E dans F , telles que :
quelque soit x appartenant à E f(x)=a et f'(x)=b
On a donc d'après (1) quelque soit x appartenant à E g(f(x))=g(f'(x)) <=>g o f=g o f'<=> Phi(f)=Phi(f')
or comme Phi est injective on a f=f' donc pour tout x de E , f(x)=f'(x)=a=b

CQFD

[Astroo]

Bonjour,

Merci beaucoup de votre aide.

Cordialement

[abicah]

Je vous en prie.